A10254. Parfait impair
Un nombre parfait est un entier égal à la somme de ses parties aliquotes (ses diviseurs à l’exception de lui-même) ; exemple : 6 = 1 + 2 + 3. On en connaît actuellement 48, tous pairs, la plupart très grands1. Montrez qu’un nombre parfait impair, s’il existe (on s’interroge à ce sujet depuis l’Antiquité), est décomposable en somme de deux carrés.
Solution
Soits(n) la somme des diviseurs den, y compris 1 etnlui-même. Un nombre parfait vérifies(n) = 2n.
La fonction s(n) est multiplicative :s(ab) =s(a)s(b) siaetb sont premiers entre eux. Sin est produit de nombres premiers q à la puissance e, s(n) = Q(1 +q+. . .+qe).
Si n est impair, ses diviseurs premiers q aussi, les facteurs (1 +q+. . . qe) ont la parité de 1 +e; si nest parfait impair,s(n) est multiple de 2 et non de 4 ; les exposantsesont pairs sauf celui d’un nombre premierp; le facteur (1 +p+. . .+pe) est le produit dep+ 1 par une somme de (e+ 1)/2 termes impairs. Ainsi (p+ 1)/2 doit être impair (de même que (e+ 1)/2).
Alorsp−1 est multiple de 4 et (comme établi par Fermat),p est somme de deux carrésu2+v2; commepe−1 et les contributions àndes autres diviseurs premiers sont des carrés, de produitm2, on an= (mu)2+ (mv)2, CQFD.
N’est-il pas remarquable d’obtenir des connaissances certaines sur des objets comme celui-là, dont l’existence est tout sauf assurée ?
1. Plus d’un million de chiffres, en écriture décimale, pour 13 d’entre eux.
