Enonc´e noE635 (Diophante)
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Jeu no1
La conclusion vaut d`es lors que les enfants sont en nombre impair.
Je consid`ere le graphe ayant pour sommets les enfants, et pour arˆetes les arcs joignant chaque enfant `a l’enfant qui lui est le plus proche. Ce graphe peut avoir plusieurs composantes connexes (un exemple de composante connexe est form´e par une paire d’enfants proches l’un de l’autre et ´eloign´es de tous les autres enfants). Ce graphe n’a pas de sommets isol´es (`a tout enfant correspond un enfant qui lui est le plus proche), une composante comprend donc au moins deux enfants. Si le nombre total d’enfants est impair, il existe au moins une composante connexe d’ordre impair.
J’affecte `a chaque enfant la distance `a l’enfant le plus proche.
Dans chaque composante connexe d’ordre impair, je consid`ere l’enfant E caract´eris´e par la plus grande des distances `a l’enfant le plus proche. L’enfant le plus proche de E est F, et il est reli´e par une ou des arˆetes `a d’autres enfants, sinon la composante connexe se r´eduirait aux deux enfantsE, F. Les distances deF `a ces autres enfants sont plus petites queEF, par d´efinition deE. AinsiF n’arrose pasE. Les autres enfants de la composante connexe non plus, car leur distance `a l’enfant le plus proche est inf´erieure `a EF, et ne peut pas ˆetre une distance `a E, par d´efinition deF.
D’o`u la conclusion : dans chaque composante connexe d’ordre impair, il y a au moins un enfant non arros´e.
Jeu no2
D´esignons un sommet du polygone r´egulier comme but. Il passe par ce point un axe de sym´etrie qui ne rencontre aucun autre sommet, le nombre de sommets ´etant impair. Constituant des paires d’enfants sym´etriques par rapport `a cet axe, on les am`ene au but par des mouvements conformes `a la r`egle. Le probl`eme est donc possible.
Remarque. Le probl`eme est encore possible si le nombre d’enfants (toujours
´egal au nombre de cˆot´es du polygone) est multiple de 4. On commence par d´eplacer vers le but, selon un cˆot´e du polygone, les enfants situ´es d’un cˆot´e de l’axe de sym´etrie passant par le but, ainsi que (du mˆeme cˆot´e de l’axe), l’enfant diam´etralement oppos´e au but. C’est possible suivant la r`egle puisque le nombre d’enfants d´eplac´es estn/2, pair. Alors un second enfant a atteint le but et les autres peuvent ˆetre organis´es en paires sym´etriques comme dans le casnimpair.
Le probl`eme est impossible si le nombre d’enfants est un multiple de 4 aug- ment´e de 2. En effet, le nombre total de mouvements `a r´ealiser est alors impair et ne peut r´esulter de mouvements des enfants par paires selon la r`egle.
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Jeu no3
Au moment m, les tas de bonbons devant chaque enfant contiennent 2a bonbons pour les plus petits tas, 2b bonbons pour les plus grands.
Au momentm+ 1 minute, apr`es la distribution compl´ementaire de bonbons, les tas de 2b bonbons n’ont pas augment´e ; ils ont encore 2bbonbons si leur voisin de gauche en avait 2b ou 2b−2 ; ils ont moins de 2b bonbons si leur voisin de gauche en avait moins de 2b−2. Au mˆeme moment, les tas de 2a bonbons n’ont pas diminu´e ; ils ont encore 2a bonbons si leur voisin de gauche en avait 2a; ils ont plus de 2a bonbons si leur voisin de gauche en avait plus de 2a.
Si b > a, il y a des tas de 2a bonbons qui ont pour voisin de gauche un tas plus grand. Ainsi, le nombre de tas de 2abonbons diminue strictement chaque minute ; quand il s’annule, ou bien tous les tas ont le mˆeme nombre de bonbons, ce qui est la propri´et´e de l’´enonc´e, ou bien le nouveau tas minimum donne une nouvelle valeur deastrictement inf´erieure `a la nouvelle valeur de b `a ce moment-l`a. La poursuite du processus de partage aboutit forc´ement
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a une r´epartition ´egale.
Comme il y a au plus 2006 tas de 2abonbons sia < b, et comme au d´epart 1 ≤ a ≤ b ≤ 16, il faut au plus 15 ´etapes d’au plus 2006 minutes pour r´eduireb−a`a 0, donc au plus 501,5 heures.
Ce n’est qu’une majoration, sans doute tr`es large : l’´egalit´e impliquerait, comme r´epartition initiale, 32 bonbons `a un enfant et 2 `a chacun des autres, mais dans cette configuration, apr`es 2014 minutes (33 heures 34 minutes) chaque enfant a 12 bonbons.
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