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A50224. Somme septuple Montrer qu’il existe un nombre de moins de 10 chiffres, décomposable de 7 façons au moins en somme a

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A50224. Somme septuple

Montrer qu’il existe un nombre de moins de 10 chiffres, décomposable de 7 façons au moins en somme a3 +b3 +c3 +d3 de 4 cubes d’entiers positifs distincts (0< a < b < c < d).

Solution

A m entier donné, considérons les quadruplets 0< a < b < c < dm, qui fournissent une partie des quadruplets de cubes de somme<109 si

(m−3)3+ (m−2)3+ (m−1)3+m3 = 4m3−18m2+ 42m−36<109. Cela conduit àm≤631, avec 997817932 comme plus grande somme.

Le nombre de ces quadruplets est C6314 = 6542880015 > 6 ·109. Par le principe des tiroirs, certaines valeurs entre 1 et 109 sont prises plus de 6 fois, par plus de 6 quadruplets distincts.

En fait, comme l’indique Paul Zimmermann, le plus petit entier solution (pour 7 sommes de 4 cubes distincts) est 13104. Les solutions suivantes sont 18928 et 20755.

On trouve sur Internet la suite des plus petits entiers somme de n façons de 4 cubes distincts ; 13104 est le terme de rang 7 de cette suite (Online Encyclopedia of Integer Sequences, http ://oeis.org/A025421).

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