A371. Les nombres harmonieux
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Un entier naturel n est dit "harmonieux" quand la moyenne harmonique de ses diviseurs (y compris 1 et lui-même) est un entier appelé
"harmonie"
Q1 Déterminer deux entiers harmonieux inférieurs à 2018 dont l'un a 10 diviseurs et l'autre 12 diviseurs.
Q2 Déterminer le plus petit entier harmonieux qui admet les six premiers nombres premiers 2,3,5,7,11,13 comme facteurs premiers avec d'éventuelles multiplicités.
Q3 Déterminer les entiers harmonieux dont les harmonies sont respectivement égales à 6,7,8,9,10 et 11.
Q4 Démontrer qu'il existe deux entiers harmonieux qui ont la même harmonie égale à 44.
PROPOSITION Th Eveilleau Q1
496 a 10 diviseurs : {1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496} de moyenne harmonique 5 140 a 12 diviseurs : {1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140} de moyenne harmonique 5
Q2
360 360 = = 23 * 3² * 5 * 7 * 11 * 13 qui a pour harmonie 44.
On a aussi plus grand { ;
11 981 970 = 2 * 3² * 5 * 7² * 11 * 13 * 19 a pour harmonie : 11 981 970 * 288 / 44815680 = 77
Q3
En notant nd le nombre de diviseurs et Sd la somme des diviseurs, nous avons :
harmonie(n) = n * nd/Sd270 = 2 * 33 * 5 a pour harmonie 6. 8128 = 26 * 127 a pour harmonie 7.
672 = 25 * 3 * 7 a pour harmonie 8.
1638 = 2 * 32 * 7 * 13 a pour harmonie 9.
6200 = 23 * 52 * 31 a pour harmonie 10.
2970 = 2 * 33 * 5 * 11 a pour harmonie 11.
Q4
332640 = 25 * 33 * 5 * 7 * 11 a pour harmonie 44. Il a 192 diviseurs de somme 1451520 et 332640 * 192 /1451520 = 44.
Nous avons également :
360360 = 23 * 3² * 5 * 7 * 11 * 13 a pour harmonie 44. Il a 192 diviseurs de somme 1572480 et 360360 * 192 /1572480 = 44.
On a ainsi au moins deux nombres entiers d’harmonie 44.
