A371 − Les nombres harmonieux [*** à la main et avec l'aide éventuelle d'un automate]
Un entier naturel n est dit "harmonieux" quand la moyenne harmonique de ses diviseurs (y compris 1 et lui- même) est un entier appelé "harmonie"
Q₁ Déterminer deux entiers harmonieux inférieurs à 2018 dont l'un a 10 diviseurs et l'autre 12 diviseurs.
Q₂ Déterminer le plus petit entier harmonieux qui admet les six premiers nombres premiers 2,3,5,7,11,13 comme facteurs premiers avec d'éventuelles multiplicités.
Q₃ Déterminer les entiers harmonieux dont les harmonies sont respectivement égales à 6,7,8,9,10 et 11.
Q₄ Démontrer qu'il existe deux entiers harmonieux qui ont la même harmonie égale à 44.
Solution proposée par Marie-Christine Piquet Q1)
a) N possède 10 diviseurs . Dans ce cas si H est la moyenne harmonique , N est de la forme N = p 9 ou N
= p14
x p2 .
Le nombre N est nécessairement pair
Il reste à trouver les premiers entrant dans la décomposition de N . n = 10 est le nombre de diviseurs de N . H = n / [ 1 + 1/d2 + 1/d3 .... + 1/d n-1 + 1/N ] = n.N / S(d) . S(d) étant la somme des diviseurs de N . Comme H est un entier, alors :
Si N = 29 = 512 , H = 5120 /1023 n'est pas entier .
Si N = 2 x p4 , H = 20 p 4/ [3 x (1 + p + p² + p³ + p4 )] ; p = 3 nécessairement , et dans ce cas , H = 20 x 27 / 121 n'est pas entier .
Si N = 24 x p , H = 5 x 25 x p / (p+1) . Comme 5 ne divise pas 32 , p+1 = 32 , p = 31 , N = 16 x 31 = 496 et H = 5
b) N possède 12 diviseurs . Il est de la forme N = 2² x p1 x p2 ou de la forme N = 25 x p ou encore : N
= 2 x p5 .
La première forme convient ; en effet :
H = 48.p1.p2 / 7.(p1 + 1).(p2 + 1) . Un des p vaut 7 , et dans ce cas : H = 336p / 56.(p+1) ---> H = 6p / (p+1) ---> p = 5 .
Le nombre N = 4 x 5 x 7 = 140 est solution et H = 5 .
Q2) N contient au moins les 6 premiers (2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13)
Une idée serait de fabriquer des dominos à 3 cases . ( Explication en Q3 )
Dans ce cas il faut s'intéresser aux différents facteurs dans le dénominateur de l'expression H et en même temps aux exposants
et au nombre "n" de diviseurs que ces exposants vont générer .
Au dénominateur 3² = 9 donne 1 + 3 + 9 = 13 comme somme de diviseurs 2³ = 8 donne 1 + 2 + 4 + 8 = 15 = 3 x 5 comme somme de diviseurs .
les nombres 5 , 7 , 11 & 13 seuls génèrent 6 = 2x3 , 8 = 2³ , 12 = 2²x3 , 13 = 2x7 au dénominateur . Le nombre de diviseurs n = 3 x 26 = 192
Et H = 3 x 26 x 2³ x 3² x 5 x 7 x 11 x 13 / 3x5 x 13 x 2x3 x 2³ x 2²x3 x 2x7 = 2² x 11 = 44 N = 360 360
colonne
1 / H 23 32 5 7 11 13
1 25 33 5 7 11 13
H 3 . 5 13 3 22 2 . 3 7
La première ligne est le nombre recherché . Le rapport (seconde ligne / 3ième ligne) avec 1/H compris doit valoir 1 .
J'ai attribué des couleurs aux 4 nombres premiers 2 , 3 , 5 & 7 afin de faciliter la lecture de N / D = H (entier) .
Q3) a) H = 6
J'ai fabriqué des dominos correspondant à chacun des nombres pn . Voici les premiers :
première case : pn ; seconde case : (n+1) x pn ; troisième case : S(pn) : la somme des diviseurs de pn . ( les réductions N/D effectuées)
seconde case / troisième case ---> ex 3³ : 4 x 3³ / 40 donne le domino : n : 3³ ; 3³ / 2 x 5 après réduction .
1/H 2 2² 2³ 24 25 3 3² 33 34 5 5²
1
2² 2² . 3 25 5 . 24 26 3 33 33 5 . 34 5 3 . 5²
6 3 7 3 . 5 31 3 . 7 2 13 2 . 5 11² 3 31
53 7 7² 11 13 31 26 127
53 7 7² 11 13 31 7 . 26 127
3 . 13 2² 19 2 . 3 7 24 127 26
On travaille avec les dominos pour trouver une harmonie H = 6 . On commence à placer le domino 1 / 2x3
On doit pouvoir maintenant aligner des nombres et obtenir une fraction égale à l'unité . Afin de faciliter le travail , on peut
aussi affecter les p d'une couleur : 2(bleu) , 3(rouge) 5(vert)...
J'ai trouvé ce tableau :
H 2 33 5
1 2² 33 5
6 = 2 . 3 3 2 . 5 3
Le produit de la première ligne donne N = 270 , le nombre de diviseurs : nd = (1+1).(3+1).(1+1) = 16 La somme de ses diviseurs est donc Sd = 16 x 270 / 6 = 720 .
b) H = 7 .
Un domino avec un nombre 7 x a au numérateur est incontournable . Et 2 dominos supplémentaires feront l'affaire .
26 127
1 26 . 7 127
7 127 26
Et le nombre 26 x 127 = 8128 possède 7 x 2 = 14 diviseurs . Leur somme vaut Sd (8128) = 14 x 8128 / 7 = 16256
c) H = 8
H 25 3 7
1 26 3 7
23 3 . 7 2 2²
Le nombre N = 25 x 3 x 7 = 672 possède 24 diviseurs dont la somme vaut : Sd (672) = 24 x 672 / 8 = 2016
d) H = 9 , j'ai trouvé 4 dominos
H 2 7 13 3²
1 2² 7 13 33
3² 3 2² 7 13
Et le nombre recherché : N = 2 x 3² x 7 x 13 = 1638 qui possède 24 diviseurs dont la somme vaut : 24 x 1638 / 9 = 4368 .
e) H = 10 , avec 3 dominos :
23 5² 31
H
1 25 3 . 5² 31
2 x 5 3 x 5 31 24
Le nombre recherché d'harmonie : 10 est N = 23 x 5² x 31 = 6200 possédant 24 diviseurs dont la somme vaut :
Sd = 24 x 6200 / 10 = 14880 . f) H = 11 , avec 4 dominos :
H 2 5 33 11
1 2² 5 33 11
11 3 3 2 . 5 2 . 3
N = 2 x 5 x 3³ x 11 = 2970 possédant 25 = 32 diviseurs dont la somme vaut : 32 x 2970 / 11 = 8640 . Q4 : 360360 trouvé en Q2 est le premier ayant une harmonie de 44 .
H = 44 = 2² x 11 ; on conserve le domino (11) . On s'aperçoit aussi que le produit de 2 dominos fait disparaître un nombre premier .
ex. le produit des dominos 3² ( 3³/ (2x5)) & 13 (13/7) génèrent la disparition de 13 mais laisse apparaître 7 dans le numérateur final .
On doit alors faire apparaître 7 dans un autre dénominateur . Et le domino 25 : ( 26 / (3x7)) peut faire l'affaire .
Il remplace donc le domino 2³ : ( 25 / (3x5) ) . Au dénominateur le nombre 5 réapparaitra avec le domino 3³ ( 3³ / (2x5) ) qui remplacera
le 3² et la boucle est bouclée . H reste égal à 44 . colonne
1 / H 25 33 5 7 11
1 26 33 5 7 11
H = 22 . 11 3 . 7 2 . 5 3 22 2 . 3
Le nouveau nombre : 332640 possède lui aussi 6 x 4 x 2 x 2 x 2 = 192 diviseurs et comme on a supprimé 13 ( remplacé par 2² x 3 )
le rapport des 2 nombres d'harmonie 44 est 13/12 ; qui est aussi le rapport des sommes de leurs diviseurs : 1 572 480 / 1 451 520 .
