A371 − Les nombres harmonieux [*** à la main et avec l'aide éventuelle d'un automate]
Un entier naturel n est dit "harmonieux" quand la moyenne harmonique de ses diviseurs (y compris 1 et lui- même) est un entier appelé "harmonie"
Q₁ Déterminer deux entiers harmonieux inférieurs à 2018 dont l'un a 10 diviseurs et l'autre 12 diviseurs.
Q₂ Déterminer le plus petit entier harmonieux qui admet les six premiers nombres premiers 2,3,5,7,11,13 comme facteurs premiers avec d'éventuelles multiplicités.
Q₃ Déterminer les entiers harmonieux dont les harmonies sont respectivement égales à 6,7,8,9,10 et 11.
Q₄ Démontrer qu'il existe deux entiers harmonieux qui ont la même harmonie égale à 44.
Solution proposée par Daniel Collignon Référence :
https://oeis.org/A001599 https://oeis.org/A001600
https://oeis.org/A001599/a001599.pdf
A noter que h(n) = d(n)/sum(d|n, 1/d) = n*d(n)/s(n) où d(n) = nb diviseurs de n, et s(n) = sommes des diviseurs de n
Q1/ 10 diviseurs : 496 = 2^4 × 31 12 diviseurs : 140 = 2^2 × 5 × 7 Q2/ 360360 = 2^3*3^2*5*7*11*13
Q3/ 6,7,8,9,10,11 : respectivement 270,8128,672,1638,6200,2970 Q4/ 44 : 332640 et 360360
