A409‒ Triplets au coude à coude [***]
Neuf nombres premiers distincts sont répartis en trois triplets (a,b,c), (d,e,f) et (g,h,i) tels que a < b < c, d < e < f et g < h < i.
Les nombres a et d sont jumeaux tandis que b et e sont cousins et que h est sexy avec b comme avec f.
Les trois produits abc,def et ghi, pas nécessairement pris dans cet ordre, constituent un ensemble de trois entiers consécutifs.
Déterminer ces neuf nombres premiers.
Solution proposée par Jacques Guitonneau
Les trois produits abc,def et ghi sont des nombres successifs, donc l’un d’entre eux est nécessairement pair. On sait par ailleurs que a et d sont des nombres premiers jumeaux, donc abc et def sont nécessairement impairs et ghi est pair et donc g=2.
On a également h sexy avec b comme avec f, donc on a un triplet sexy avec h au milieu du triplet. De plus ghi doit être inférieur à 2016 donc h doit être inférieur à racine(1008) soit 32.
On trouve facilement sur internet
(https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombres_premiers_sexy) les seuls candidats de triplets sexy suivants (7,13,19), (17,23,29).
En prenant h=23, on recherche un nombre premier i > h et tel que 2.23.i soit inférieur à 2016/46 soit 44 et que 46.i -1 et 46+1 répondent à la question.
On trouve facilement que i=41 répond à la question , car pour les valeurs
précédentes (i= 29, 31, 37) 46i-1 ou 46i+1 ne se décomposent pas en produit de trois nombres premiers distincts.
par contre pour i=41 on a ghi=1886 (2.23.41), def= 1885 (5.13.29) et abc=1887 (3.17.37).
On vérifie que a (3) et d (5) sont jumeaux, que b (17) et e (13) sont cousins et que h (23) sexy avec b (17) et avec f (29). On vérifie également que h=13 n’est pas une solution .
