A817 - La saga de Méphisto

A817 - La saga de Méphisto

Pour passer de 7 à 5, on appuie quatre fois sur la toucheσ puis une fois sur la toucheφ et enfin sur la toucheτ. En effet :

τ(φ(σ(σ(σ(σ(7)))))) = τ(φ(σ(σ(σ(8))))) =τ(φ(σ(σ(15)))) =τ(φ(σ(24))) =τ(φ(60)) =τ(16) = 5 Ce que l’on peut résumer de la façon suivante :

7 σ 8 σ 15 σ 24 σ 60 φ 16 τ 5

Pour passer de 2 à la liste des entiers de 3 à 25, on peut, par exemple, commencer à procéder de la façon suivante :

2 3 4 7 8 15 24 60 16 5

6 12 28 56 120 32 63 36 9

13 14 24 60 168 48 10 18 . . .

σ σ σ σ σ σ σ φ τ

σ σ σ σ σ φ σ φ τ

σ σ σ σ σ φ τ σ

Pour les nombres manquants, on se reportera à la procédure décrite ci-dessous qui détaille comment passer d’un entier p quelconque à un entierq quelconque.

Partant d’un entier quelconque p, il est toujours possible de se ramener à un entier de la forme 2^a en appuyant suffisamment de fois sur la touche φ. En effet, chaque nombre premier (par exemple 19) dans le décomposition de p verra son exposant diminué de 1 et remplacé par le nombre qui le précède (dans l’exemple : 18) qui est pair et la décomposition du nouveau nombre obtenuφ(p) fera donc intervenir des nombres premiers plus petits que ceux de p, et ainsi de suite jusqu’à ce que le nombre obtenu soit une puissance de 2.

Pour obtenir un entier q, l’étape précédente peut être 2^q−1, car τ(2^q−1) =q.

Les étapes consistent donc à :

1. Passer de p à un nombre de la forme 2^a en appuyant suffisamment de fois sur la touche φ.

2. Passer de 2^a à2^b (avecb =q−1) : c’est ce que nous détaillons dans la suite.

3. Passer de 2^q−1 à q en appuyant sur la touche τ.

Le problème consiste donc à passer d’un nombre de la forme2^a à un nombre de la forme 2^b.

• Si a=b, le problème est résolu.

• Si a > b, il suffit d’appuyer b−a fois sur la touche φ, car φ(2^a) = 2^a−1

• Si a < b : Le problème consiste à passer de 2^a à2^a+1 puis à répéter l’opération autant de fois que nécessaire.

(On calcule σ(2^a) = 2^a+1 −1 : si c’est un nombre premier, alors σ(2^a+1 −1) = 2^a+1 et le problème est résolu.)

Le problème revient donc à passer de 2^a à n’importe quelle nombre de la forme 2^c avec c > a puis d’appuyer suffisamment de fois sur la touche φ pour revenir à 2^a+1

Il est clair que, partant de 2^a, nous allons appuyer sur la touche σ (pour obtenir un nombre plus grand que 2^a).

L’idée générale est basée sur la première remarque de ce document : Partant d’un entier quelconque p, il est toujours possible de se ramener à un entier de la forme 2^a en appuyant suffisamment de fois sur la touche φ.

Si on note p= 2^αp^α₁¹...p^α_k^k sa décomposition en facteurs premiers (les p_i étant tous impairs), lorsqu’on calculeφ(p)puis sa décomposition en facteurs premiers, l’exposant de 2 est toujours d’au moins α−1 +k : il ne peut donc pas diminuer si p n’est pas une puissance de 2.

Ainsi si l’on cherche à obtenir 2^c, il suffit d’avoir un nombre divisible par 2^c puis d’appuyer suffisamment de fois sur la touche φ pour obtenir 2^c.

L’idée est d’appuyer sur la touche σ jusqu’à ce que l’on obtienne un nombre qui soit divisible par 2^c (puis d’appuyer ensuite sur la toucheφ jusqu’à ce que l’on revienne à 2^c).

Pourquoi est-ce toujours possible ? Exemples :

2 σ 3 σ 4

4 σ 7 σ 8

8 σ 15 σ 24 σ 60 φ 16

16 σ 31 σ 32

32 σ 63 σ 104 σ 210 σ 576 φ 192 φ 64

64 σ 127 σ 128

128 σ 255 σ 432 σ 1240 σ 2880 φ 768 φ 256

256 σ 511 σ 592 σ 1178 σ 1920 φ 512

512 σ 1023 σ 1536 σ 4092 σ 10752 φ 3072 φ 1024 1024 σ 2047 σ 2160 σ 7440 σ 23808 φ 7680 φ 2048

2048 4095 8736 28224 94107 143360

49152 16384 8192 4096

σ σ σ σ σ

φ φ φ φ

4096 σ 8191 σ 8192