Partie 1 : un premier exemple

Pour le lundi 2 octobre 2017 Exercice 1

SoitA=





2 −3 3

−3 3 −4

−3 4 −5



et f l’endomorphisme de IR³ de matriceAdans la base canonique.

1. On se propose de démontrer que A est semblable à la matrice A⁰ =





1 1 0

0 −1 0

0 0 2



 et de trouver une matrice de passage.

a. Déterminer les deux sous-espaces vectorielsKer(f+IdIR³ etKer(f−2IdIR³.

b. On note β⁰ = (u, v, w) une base de IR³ telle que M atβ⁰(f) = A⁰. Préciser à l’aide de la question précédente deux vecteursuetwqui conviennent. Déterminer alors un troisième vecteurvconvenable à l’aide d’un système d’équations linéaires.

c. Préciser la matrice de passage P de la baseβ à la base β⁰ puis la relation entreAet A⁰. d. Soitn∈IN. Déterminer les matrices suivantes :

−1 1 0 −1

ⁿ

puis(A⁰)ⁿ. En déduireAⁿ. 2. On définit pour toute matriceM ∈ Mn(IR)la matrice exp(M) =limn→+∞Pn

k=0

1

k!M^k. On admet que cette limite existe.

a. Rappeler lorsquex∈IR la valeur de limn→+∞Pn k=0

1 k!x^k. b. En déduire la matrice exp(A⁰), puis une formule pour exp(A).

3. Bonus : Imaginer une méthode permettant de déterminer une matriceB telle queB²=A.

Exercice 2

1. Résoudre dansZ/19Zl’équation x˙³= 1.

2. Résoudre dansZ/15Zl’équation x˙⁴= 1.

3. Déterminer une fonction PythonracineCubique(a,n)dont les arguments sont deux entiers naturels a etn, qui renvoie tous les entiersk∈[0, n−1]tels que (k modn)³=a.

4. Démontrer le théorème d’Euler :

Soitn≥2. Pour toutx∈Z, sixet nsont premiers entre eux, alorsx^ϕ(n)≡(1modn). 5. Rappeler la définition d’un générateur d’un groupe multiplicatif(G,·).

Quel est le nombre de générateurs du groupe(U2016,×)? (on détaillera les calculs)

Problème 1

Soituun endomorphisme deE.

On noteu^k=u◦u◦. . .◦u(composéekfois). Par convention,u⁰=Id_E.

On dit queuest nilpotent d’ordrer∈N^∗si et seulement siu^r= 0_L(E) etu^r−16= 0_L(E).

Question 0.(Hors barème) Rappeler l’énoncé du théorème du rang pour une application linéaire en dimension finie.

Partie 1 : un premier exemple

Dans cette partie, E1 désigne un espace vectoriel sur R dont une base est β = (e1, e2, e3, e4)? Soit f1 l’endo- morphisme deE dont la matrice dans la baseβ est :

M =









1 1 0 0

−1 −1 0 0

0 0 −1 1

0 0 1 −1







 .

1. Déterminer le rang def1 et donner une base de l’image def1, une base du noyau def1 en fonction des vecteurs de la baseβ.

1

2. CalculerM², M³ et montrer qu’il existe une matriceAtelle que pour tout entierp≥2, il existe un réel αp vérifiantM^p=αpA. Expliciter alorsM^p.

3. Donner une base de chacun des sous espaces vectoriels Imf₁², Kerf₁², Imf₁³, Kerf₁³. 4. Déterminer pour toutk≥2, Imf₁^k, Kerf₁^k.

5. Montrer queE=Imf₁²⊕Kerf₁².

Partie 2 : noyaux itérés et images itérées : résultats généraux

SoitE un espace vectoriel de dimension finie etf ∈ L(E).

On poseNk=Ker(f^k)etIk=Im(f^k).

On dit qu’une suite (A_n) d’ensembles est croissante (resp. décroissante) pour l’inclusion si et seulement si

∀n∈N, A_n⊂A_n+1 (resp.A_n+1⊂A_n).

1. a. Démontrer que la suite(Nk)_k∈Nest croissante pour l’inclusion puis que la suite(Ik)_k∈Nest décroissante pour l’inclusion.

b. Justifier l’existence d’un plus petit entier naturelp0tel que Np₀ =Np₀+1.

c. Ce résultat est-il encore vrai en dimension infinie ? (on pourra répondre après avoir regardé la partie 3...)

d. Soit un telp₀. Montrer que ∀k≥0, N_p0 =N_p0+k.

2. a. Démontrer que les suites(N_k)_k∈Net (I_k)_k∈Nsont stationnaires à partir du même rangp₀. b. Démontrer queN_p0⊕I_p0 =E.

3. Montrer que la restriction def àI_p0 est un automorphisme deI_p0.

4. Montrer que la restriction def àNp0 est un endomorphisme nilpotent deNp0 et déterminer son ordre.

5. Démontrer que la suite(dim(Nk+1)−dim(Nk))k∈N est décroissante.

6. Montrer que sig est un endomorphisme nilpotent de E, son ordre de nilpotence est inférieur ou égal à dim(E).

7. On admet que le polynôme caractéristique d’un endomorphisme est égal au polynôme caractéristique de n’importe quelle matrice représentantgdans une base de E.

Déterminer le polynôme caractéristique d’un endomorphisme nilpotent ? 8. Quel est le polynôme minimal d’un endomorphisme nilpotent d’ordrer?

Partie 3 : un autre exemple

SoitE=R[X]et P∈E. On définit∆(P) =P(X+ 1)−P(X). 1. Montrer que∆est un endomorphisme deE.

2. Déterminer rigoureusement le noyau de∆, puis pour toutk≥2, le noyau de∆^k. L’endomorphisme∆est-il nilpotent ?

3. Soitn∈N^∗. Montrer que ∆(Rn[X])⊂Rn−1[X].

On note δ l’endomorphisme de Rn[X] tel que δ(P) = P(X+ 1)−P(X) (δ est la restriction de ∆ à Rn[X]).

a. Déterminer l’image deδ^k pour toutk∈N^∗. En déduire l’image de∆.

b. Justifier que δest un endomorphisme nilpotent et déterminer son ordre de nilpotence.

4. a. Montrer que pour tout entier naturelp,δ^p(P) =

p

X

k=0

(−1)^p−k p

k

P(X+k).

b. En déduire l’existence de réels(λ1, . . . , λn+1)∈Rⁿ⁺¹tels que pour toutP ∈Rn[X], P(X) =

n+1

X

k=1

λkP(X+k).

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