Leçon 152 : Déterminant. Exemples et applications.

Leçon 152 : Déterminant. Exemples et applications.

1 L’application déterminant

On considèreEunK–espace vectoriel de dimension finie.

Définition 1. Soitk∈N^∗. Unek–forme linéaire surEest une application f :E^k→Kqui est linéaire en chacune de ses variables. On dit qu’elle est alternée sif(x1, . . . ,xn)=0 dès que deux vecteurs parmi lesxisont égaux.

Théorème 2. L’ensemble des n–formes linéaires alternées sur E est unK- espace vectoriel de dimension 1.

Définition 3. SoitB=(e1, . . . ,en) une base deE, on appelle déterminant dans la baseBl’unique formen–linéaire alternée valant 1 sur cette base.

De plus, six₁, . . . ,xn∈Eavecxi=P

jxi,jejalors : detB (x1, . . . ,xn)= X

σ∈Sn

ε(σ)x1,σ(1)· · ·xn,σ(n)

Proposition 4(changement de base). SiBetB⁰sont deux bases de E alors det_B⁰(x1, . . . ,xn)=det_B⁰(B)×det_B(x1, . . . ,xn). En particulier,det_B⁰(B)× det_B(B⁰)=1.

Théorème 5. Soient x1, . . . ,xn∈E , alors les assertions suivantes sont équi- valentes :

1. La famille(x1, . . . ,xn)est liée.

2. Le déterminant de(x1, . . . ,xn)est nul dans toute base de E .

3. Il existe une base de E dans laquelle le déterminant de(x₁, . . . ,xn)est nul.

Définition 6. Soitf un endomorphisme deE etB=(e₁, . . . ,e_n) une base deE. Le scalaire det_B¡

f(e1), . . . ,f(en)¢

ne dépend pas de la base choisie, on l’appelle le déterminant def, noté detf.

Proposition 7.

1. det(idE)=1.

2. Si f et g sont deux endomorphismes de E , alorsdet(f◦g)=detf× detg .

3. Soit f un endomorphisme de E . Alors f ∈GL(E)ssidetf 6=0. Dans ce cas,det(f⁻¹)=(detf)⁻¹.

Remarque 8. Autrement dit, det : GL(E) → K^∗ est un morphisme de groupes. Son noyau est appelé groupe spécial linéaire deE, noté SL(E).

Définition 9. SoitA∈Mn(K), on appelle déterminant deAle déterminant des colonnes deA(vues comme éléments deKⁿ) dans la base canonique deKⁿ.

detA= X

σ∈Sn

ε(σ)a1,σ(1)· · ·an,σ(n)

Proposition 10. Si A est la matrice d’un endomorphisme f dans une base de E , alorsdet(A)=det(f).

Corollaire 11. Une matrice A est inversible ssidetA6=0.

2 Calcul de déterminants

Proposition 12. Soit A∈Mn(K),det^tA=detA.

Théorème 13(opérations élémentaires). Soit A∈Mn(K).

1. Soitσ∈S_net A_σla matrice obtenue à partir de A en permutant les colonnes de A selonσ. AlorsdetA_σ=ε(σ) detA.

2. Si on ajoute à une colonne de A une combinaison linéaire des autres colonnes de A, le déterminant reste inchangé.

Remarque14. C’est aussi valable pour les lignes.

1

Définition 15. SoitA=(ai,j)∈Mn(K). Notons Ai,j la matrice obtenue à partir deAen supprimant lai–ième ligne et laj–ième colonne. On appelle cofacteur associé au coefficienta_i,j le scalaire∆i,j =(−1)^i+jdetA_i,j. On appelle comatrice deA, notée Com(A), la matrice (∆i,j).

Proposition 16. Soit A∈Mn(K).

1. ∀j ,detA=Pn

k=1a_k,j∆k,j. 2. ∀i ,detA=Pn

k=1a_i,k∆i,k. Corollaire 17.

1. Si M est triangulaire, alorsdetM est le produit de ses éléments diago- naux.

2. Si M est donnée par blocs µA B

0 D

¶

, alorsdetM=(detA)(detD).

Théorème 18. Soit A∈Mn(K), alors A×^tCom(A)=det(A) In. Exemple 19(Vandermonde). Soienta1, . . . ,an∈Ket soit :

V=













1 a1 · · · a₁ⁿ⁻¹ 1 a2 · · · a₂ⁿ⁻¹

. ..

1 a_n · · · a_nⁿ⁻¹













Alors le déterminant deV est appelé déterminant de Vandermonde et vaut Vand(a1, . . . ,an)=Q

i<j(aj−ai).

Exemple 20(déterminant circulant). Soienta₁, . . . ,an ∈C. On considère la matrice circulante :

C=













a₁ a₂ · · · a_n an a1 · · · a_n−1

. ..

a2 a3 · · · a1













SoitP(X)=a1+a2X+ · · · +anXⁿ⁻¹∈C[X]. Alors detC =Qn−1

i=0P(ω^j) où ω=e^2iπn .

3 Utilisation en algèbre linéaire

Théorème 21(Cramer). On considère le système linéaire Ax=b. Alors ce système admet une unique solution pour tout b ssidetA6=0. De plus, en notant c₁, . . . ,c_nles colonnes de A, on a les formules de Cramer :

xi=det(c1, . . . ,ci−1,b,ci+1, . . . ,cn) detA

Définition 22. Soit A∈Mn,p(K), on appelle mineur d’ordrer le détermi- nant d’une matrice extraite deAde tailler×r.

Théorème 23. Une matrice est de rang r ssi il existe un mineur d’ordre r non nul et si tous les mineurs d’ordre s>r sont nuls.

Définition 24. SoitA∈Mn(K). AlorsXIn−A∈Mn¡ K(X)¢

, on appelle po- lynôme caractéristique deA, notéχA, le déterminant deXIn−A. AlorsχA

est bien un polynôme deK[X].

Proposition 25. Deux matrices semblables ont le même polynôme caracté- ristique. On définit alors le polynôme caractéristique d’un endomorphisme comme le polynôme caractéristique de sa matrice dans une base quel- conque.

Proposition 26. λest valeur propre de f ssiχf(λ)=0.

Application 27. Une matrice A de Mn(C) est nilpotente ssi ∀k > ^1, Tr(A^k)=0.

Théorème 28. Un endomorphisme est trigonalisable surKssi son poly- nôme caractéristique est scindé surK.

2

Application 29(Cayley–Hamilton). SoitA∈Mn(K), alorsχA(A)=0.

Théorème 30 (inégalité de Hadamard). Soit M ∈ Mn(C) et soient X1, . . . ,Xnses colonnes. Alors|detM|6kX1k · · · kXnkoùkXk =p

X^∗X . De plus il y a égalité ssi les Xisont deux à deux orthogonaux.

Définition 31. Soit E un espace pré-hilbertien (pas nécessairement de dimension finie) et soientx1, . . . ,xn∈E. On appelle matrice de Gram de x₁, . . . ,x_nla matrice¡

〈x_i|x_j〉¢

i,j. On noteG(x₁, . . . ,x_n) le déterminant de cette matrice.

Proposition 32. La matrice de Gram de x1, . . . ,xnest hermitienne positive.

Elle est définie ssi les xisont libres.

Théorème 33. Soit V un s.e.v. de E de dimension finie n et soit(e1, . . . ,en) une base de V . Soit x∈E , alors d=dist(x,V)vérifie :

d²=G(e1, . . . ,en,x) G(e1, . . . ,en)

4 Régularité et conséquences

On supposeK=RouC.

Proposition 34. Soit A∈Mn(K). AlorsdetA est polynomiale en les coeffi- cients de A, donc l’application A7→detA est de classeC^∞.

Application 35. GLn(K) est un ouvert dense deMn(K).

Application 36. GLn(C) est connexe (par arcs).

Proposition 37. Le déterminant est différentiable et sa différentielle est donnée pard(det)(M).H=Tr(^tCom(M)H).

Théorème 38. SLn(R)est une hypersurface deMn(R). Son espace tangent enInest l’espace des matrices de trace nulle.

Proposition 39. Soit u∈L(Rⁿ)et soit B∈B(Rⁿ). Notonsλla mesure de Lebesgue surRⁿ. Alorsλ¡

u(B)¢

= |detu|λ(B).

Théorème 40(changement de variables). SoitϕunC¹–difféomorphisme d’un ouvert U deRⁿsur un ouvert V deRⁿ. Alors f est intégrable sur V ssi (f◦ϕ)|detJ_ϕ|est intégrable sur U et dans ce cas :

Z

V f(y) dy= Z

U f¡ ϕ(x)¢

|detJ_ϕ(x)|dx Application 41. une application en proba.

Développements

1. Inégalité de Hadamard et matrices de Gram.[30]

2. Différentielle du déterminant et sous-variété.[37]

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Références

— BECK, MALICKet PEYRÉ,Objectif agrégation.

— BIRANEet PAGÈS,Analyse – Théorie de l’intégration.

— GOURDON,Les maths en tête, algèbre.

— GRIFONE,Algèbre linéaire.

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