��� RACINES D’UN POLYNÔME. FONCTIONS SYMÉTRIQUES ÉLÉMENTAIRES. EXEMPLES ET APPLICATIONS.
SoitKun corps commutatif. [Rom��, p���]
I. Racines d’un polynôme
[Gou��, §�.�, p��] [Rom��, §��.�, p���]Fonction polynomiale associée, racine d’un polynôme,aracine≈∆X≠a|P,
Exemple : un polynôme deR[X]de degré impair à une racine réelle. Polynômes cyclotomiques Application aux polynômes d’endomorphismes : siP(f) = 0,P(Sp(f)) = 0. Cas deP =‰fet P=µf.
Majoration du nombre de racines par le degré du polynôme s’il est non nul Application : polynôme d’interpolation deL�������
Identification d’un polynôme et de sa fonction polynomiale sur un corps infini Multiplicité, formule deT�����
Lien entre multiplicité et zéros des polynômes dérivés Polynôme scindé, corps algébriquement clos
Théorème de�’A�������-G���� [Rom��, p���]
Application : toute matrice deMn(C)est trigonalisable
Les racines (complexes) deP œQ[X], ouPœR[X]sont simples siPest scindé
II. Fonctions symétriques élémentaires et polynômes symé- triques
II. A. Fonctions symétriques et relations coe�icients/racines
[Gou��, §�.�, p��] [Rom��, §��.�, p���]
Fonctions symétriques élémentaires, exemples de‡1,‡2,‡n
Toute expression symétrique enx1, . . . , xnest un polynôme en‡1, . . . ,‡n
Relations coe�icients/racines
Formules deN�����, application à la caractérisation des matrices nilpotentes
II. B. Structure des polynômes symétriques
[Rom��, §�.�.�, p��] [CG��, §V.D, p���] [Tau��, §XIII, p���]
Théorème de structure des polynômes symétriques Algorithme de factorisation, exemple
P�����������. [����� ��H�����]
SoitP œR[X]de degrénetx1, . . . , xtses racines distinctes, de multiplicitém1, . . . , mt. On définitsk=qt
¸=1m¸xk¸ pourkœNpuis on pose
’(X0, . . . , Xn≠1)œCn, s(X1, . . . , Xn) = ÿ
0Æi,jÆn≠1
si+jXiXj
AlorssR(la restriction desàRn) est une forme quadratique surRn, de signature(p, q)où p+q=tetp≠qest le nombre de racines réelles deP.
III. Localisation des racines
III. A. Premiers résultats
[FGN��a, §�.��, p���] [Gou��, §�.�/�.�, p��/��/��]Les racines dePsont dans un disque déterminé par les coe�icients deP Théorème deG����-L����
T��������. [�������� ��K��������]
SoitP œZ[X]unitaire tel que toutes les racines dePsont de module inférieur ou égal à� etP(0)”= 0, alors toutes les racines dePsont des racines de l’unité.
C����������. [�������� ��K��������]
SoitP œZ[X]unitaire de degrénet irréductible surQ. Si toutes les racines dePsont de module inférieur ou égal à�, alorsP =XouP = n.
III. B. Disques de G���������
[FGN��b, §�.�, p��] [Ser��, §�.�, p��]On cherche les racines deP=Xn+an≠1Xn≠1+· · ·+a0œ C[X].
Introduction de la matrice compagnon
Matrice à diagonale dominante, disque deG���������
Sp(A)µ fini=1Di
pracines dans une composante connexe regroupantpdisques (via l’analyse complexe)
III. C. Approximation d’une racine
[Rou��, Ch�, p���] [AK��, §��.�, p���]SiPa des racines réelles–1<· · ·<–r, la méthode deN�����partant dex0Ø–rconverge vers–r. Vitesse de convergence selon la multiplicité
Méthode de la puissance
ÉNS Paris-Saclay –����/���� AntoineB������–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur���
Agrégation – Leçons ���– Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
IV. Racines de polynômes et extensions de corps
[Per��, §III.�.c, p��]IV. A. Rappels sur les extensions de corps
Extension de corps, degré, théorème de la base télescopique, exemples, algébricité
IV. B. Corps de rupture et corps de décomposition
Corps de rupture d’un polynôme irréductible, existence et unicité à isomorphisme près Exemple deC, deQ[Ô2]
Degré du corps de rupture
Corps de décomposition, existence et unicité à isomorphisme près Exemple deQ(i,Ô2)
Théorème de l’élément primitif
IV. C. Clôture algébrique
Corps algébriquement clos Formulations équivalentes
Polynôme ne s’annulant pas sur un corps finiætout corps fini n’est pas algébriquement clos Clôture algébrique
Tout corps admet une clôture algébrique unique à isomorphisme près
������
Tout au long de cette leçons on s’intéresse à3problèmes fondamentaux liés aux racines d’un polynôme :
• l’existence de racines d’un polynômeP œK[X]ainsi que leur calcul exact. On peut iden- tifier polynôme et fonction polynomiale dans le cas d’un corps infini. Trouver les racines d’un polynôme reste un problème que l’on ne peut pas résoudre en général,
• localisation approchée des racines (G����-L����,G���������, autres méthodes),
• et le problème inverse du premier : soitkune extension deKetxœk. Existe-t-ilP œK[X] tel queP(x) = 0? On va ensuite regarder la structure de l’ensemble des racines dePxle polynôme minimal dex. Théorème de l’élément primitif.
On peut aussi présenter cette partie avec une version théorie des corps, question d’exis- tence de racines résolue par corps de rupture/décomposition.
���������
Q SoitPn=qn k=0Xk
k! . Montrer quePnn’a que des racines simples dansC.
R On vérifie quePnÕ =Pn≠1=Pn≠Xn!n. Une racine dePnet dePn≠1ne peut donc être que 0, ce qui n’est pas le cas.
Q SoitÏ : Mn(C) ≠æCune fonction polynomiale satisfaisantÏ(AB) = Ï(BA). Soitfi : A‘≠æ‰iAlei-ième coe�icient de‰A. Montrer queÏest un polynôme enf0, . . . fn≠1. R On a‡i(⁄1, . . . ,⁄n) = (≠1)nfn≠i(A).
SoitÂ: (⁄1, . . . ,⁄n)‘≠æÏ(diag(⁄1, . . . ,⁄n)). On a
Â((⁄‡(i))i) =Ï(diag((⁄‡(i))i)) =Pdiag((⁄i)i)P≠1=Ï(diag((⁄i)i))
Âest symétrique, donc fonction des(‡i)i, donc des(fi)i... AinsiÏest un polynôme en les (fi)isur l’ensemble des matrices diagonales. Pour une matrice quelconque, on l’approche par des matrices diagonales et on conclut par continuité.
Q SoitIun intervalle deR. Déterminer les sous-algèbres de dimension finie deC0(I,R).
R SoitCune telle algèbre. Soitf œC. Pour touti,fiœCdonc(1, f, . . . fn)est liée, et il existe P œRn[X]annulateur def. Sifest non constante,P est nul, absurde. DoncC ={0}ou C={fconstante}.
Q Montrer que siTr(Ak) = 0pour toutk, alorsAest nilpotente (K=C).
R En utilisant le polynôme caractéristique deA, on a queTr(‰A(A)) = 0 = na0oùa0est le coe�icient constant de‰A, donca0= 0. Ainsi0œSp(A)et on conclut par récurrence.
Variante :la relation donne que les sommes deN�����sont toutes nulles, donc que les fonctions symétriques sont nulles, donc que les racines sont nulles : le polynôme est nil- potent.
�������������
[AK��] G.A������et S.-M.K����:Algèbre linéaire numérique. Ellipses,����.
[CG��] P.C������et J.G������: Histoires hédonistes de groupes et de géométries - Tome�.
Calvage et Mounet,����.
[FGN��a] S.F��������, H.G�������et S.N������:Oraux X-ENS - Algèbre�. Cassini,����.
[FGN��b] S.F��������, H.G�������et S.N������:Oraux X-ENS - Algèbre�. Cassini,����.
[Gou��] X.G������:Les maths en tête - Algèbre. Ellipses,�èmeédition,����.
[Per��] D.P�����:Cours d’algèbre. Ellipses,����.
[Rom��] J.-E.R�������: Mathématiques pour l’agrégation : Algèbre et géométrie. De Boeck,
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[Rou��] F.R�������:Petit guide de calcul di�érentiel. Cassini,����.
[Ser��] D.S����:Les Matrices. Dunod,����.
[Tau��] P.T�����:Mathématiques générales pour l’agrégation. Masson,����.
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