• Aucun résultat trouvé

￿￿￿ POLYNÔMES IRRÉDUCTIBLES À UNE INDÉTERMINÉE. CORPS DE RUPTURE. EXEMPLES ET APPLICATIONS.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "￿￿￿ POLYNÔMES IRRÉDUCTIBLES À UNE INDÉTERMINÉE. CORPS DE RUPTURE. EXEMPLES ET APPLICATIONS."

Copied!
2
0
0

Texte intégral

(1)

��� POLYNÔMES IRRÉDUCTIBLES À UNE INDÉTERMINÉE. CORPS DE RUPTURE. EXEMPLES ET APPLICATIONS.

SoitKun corps etAun anneau intègre, tous deux commutatifs.

I. Polynômes irréductibles

[Per��, §II.�/III.�, p��–��/��] [Rom��, §��.�, p���]

I. A. Irréductibilité

Définition de l’irréductibilité de polynômes

Dans le cas d’un corps : simplification de l’irréductibilité, cas des polynômes de degré 1, exemples, lien entre réductibilité et existence de racines pourdeg(P)Æ3

Lemme d’E������pourA[X]principal/factoriel, exemple de(X2 + 1)2réductible surR[X] bien qu’il n’admette pas de racine

Décomposition en produit d’irréductibles Il y a une infinité de polynômes irréductibles

I. B. Propriétés de A[X]

[Per��, §II.�, p��]

A[X]principal correspond àAest un corps Afactoriel impliqueA[X]factoriel

Notion de contenu, polynôme primitif, lemme deG����

Dans un corps :Pirréductible si et seulement si(P)maximal

I. C. Critères d’irréductibilité

[FGN��, §�.��, p���–���]

On suppose queAest un anneau factoriel

Lien entre les irréductibles deAet les irréductibles deFrac(A) P�����������. [������� �’E���������]

SoitP =qn

i=0aiXiœA[X]. SoitpœApremier. Sip-an,’i < n, p|aietp2-a0, alors Pest irréductible dansFrac(A)[X].

E�������. SimœZa un facteur premier sans carré alorsXnmest irréductible dansZ[X] pour toutnœN.

P�����������. SoitIun idéal premier deAetB =A/I. SoitP =qr

i=0aiXiœA[X]et Pla réduction dePmoduloI. SiandansB, et siPest irréductible surBouFrac(B), alorsP est irréductible surK.

Que l’on reformule dans le casA=Z,I= (p),B=Fp: P�����������. SoitpœPetP=qr

i=0aiXiœZ[X]. SoitPla réduction dePmodulop.

Sip-anet siPest irréductible dansFp[X], alorsPest irréductible dansQ[X].

E�������. X3+462X2+2433X≠67691est irréductible dansZ[X], tout commeXpX≠1 pour toutpœP.

Cependant la réciproque est fausse, mais dans certains cas particuliers on peut s’en tirer en jonglant entre les corps utilisés

II. Extensions de corps et polynômes

II. A. Extensions de corps

[Per��, §III.�, p��–��]

On ne considère que des corps commutatifs.

D����������. [��������� �� �����,�����]

SoientKetLdeux corps tels queKµL. On dit queLest une extension de corps deK. Lest alors unK-e.v.. Lorsquedim(L)est fini, on note[L : K] = dim(L)et on l’appelle le degré deLsurK. On dit alors que l’extension est finie.

E�������. RµC,QµQ(i).

Degré d’une extension, exemples

T��������. [�������� �� �� ���� ������������]

SoientK,L,Mdes corps,(ei)iœI une base deLsurK,(fj)jœJune base deMsurL. Alors (eifj)(i,j)œIJest une base deMsurK. En particulier, lorsque deux des degrés d’extensions sont finis, le troisième aussi et on a[M:K] = [M:L][L:K].

D����������. [������� ����������,������������]

SoitLune extension deK, soitœL. Soit:K[T]≠æLle morphisme d’anneaux tel que

|K= idet„(T) =–.

Siest injectif, on dit queest transcendant surK. Sinon,œ Lest algébrique surKet P œK[X]unitaire tel queker(„) = (P).Pest appelé polynôme minimal de–.

E��������. Ô2, isont algébriques surQ.eetsont transcendants surQ.

T���������. [��������������� �’�� ����������]

SoitLune extension deK. PourœL, on a :

est algébrique surK≈∆K[–] =K(–)≈∆dim(K[–])<

Liens entre irréductibilité et degré des extensions [Per��, §III.�, p��–��]

ÉNS Paris-Saclay –����/���� AntoineB������–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur���

(2)

Agrégation – Leçons ���– Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

II. B. Corps de rupture et de décomposition

[Per��, §III.�.c, p��]

Corps de rupture d’un polynôme irréductible, existence et unicité à isomorphisme près.

Exemple deC, deQ[Ô2]

Degré du corps de rupture

Corps de décomposition, existence et unicité à isomorphisme près Exemple deQ(i,Ô

Théorème de l’élément primitif2)

II. C. Cloture algébrique

[Per��, §III.�.c, p��]

Extension algébrique, corps algébriquement clos, formulations équivalentes

Théorème de�’A�������-G���� [Rom��, p���]

Application : toute matrice deMn(C)est trigonalisable

Polynôme ne s’annulant pas sur un corps finiætout corps fini n’est pas algébriquement clos Clôture algébrique, tout corps admet une clôture algébrique unique à isomorphisme près

III. Polynômes cyclotomiques

[Per��, §�.�, p��] [Rom��, §��.��.�, p���]

SoitnœNú.

D�����������. [��������� �������������]

On définit len-ième polynôme cyclotomique nœCn[X]par n(X) =r

œUn(X≠’).

P������������.

(i) nest unitaire de degréÏ(n) = card({kœ[1, n]|k·n= 1}).

(ii) Xn≠1 =r

d|n d. En particulier, sinest premier : n=Xn≠1.

C�����������.

• On en déduit la fameuse formule„(n) =q

d|n„(d).

• PournØ2,q

ÊœUnÊ= 0.

P������������. n œZ[X].

T���������. nest irréductible surZet donc surQ. C�����������. On a[Q[e2ifi/n] :Q] =Ï(n).

A������������. Théorème deD��������faible

������������

Autres références : [BMP��,Gou��].

���������

Q X4+ 1est-il irréductible?

R Oui, il n’a pas de racine et on peut appliquer le critère d’E���������à(X + 1)4+ 1avec p= 2.

Q X4+ 1est-il irréductible surFp?

R SurFp2cyclique,X8≠1 = (X4+ 1)(X4≠1)et8|(p2≠1) = (p≠1)(p+ 1).

Q Peut-on construire une famille de polynômes(Xn+a)nirréductibles surQpour toutn?

�������������

[BMP��] V.B���, J.M�����et G.P����:Objectif Agrégation. H&K,�èmeédition,����.

[FGN��] S.F��������, H.G�������et S.N������:Oraux X-ENS - Algèbre�. Cassini,����.

[Gou��] X.G������:Les maths en tête - Algèbre. Ellipses,�èmeédition,����.

[Per��] D.P�����:Cours d’algèbre. Ellipses,����.

[Rom��] J.-E.R�������: Mathématiques pour l’agrégation : Algèbre et géométrie. De Boeck,

����.

ÉNS Paris-Saclay –����/���� AntoineB������–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur���

Références

Documents relatifs

Soit f€F^[x](où est le corps fini ayant q éléments) un polynôme irréductible tel que f(O) ^ 0 ; on appelle exposant de f l'ordre e(f) d'une racine de f dans SF^ deg(f) (cf.[l]).

Cet article donne un algorithme permettant de déterminer le produit de tous les polynômes irréductibles, de mêmes degrés, qui divisent un polynôme donné à une indéterminée

Par hypothèse, les polynômes f(0,.... Pour être complet, il suffit de faire les remarques suivantes.. Sur l'irréductibilité de certains polynômes. La preuve découle du fait que si

Soit (K,v) un corps value hensélien, de corps résiduel A algébriquement clos et de même caractéristique que K, et de groupe de valeurs G divisible.. Soit L

[La construction de L/K peut se faire de la manière suivante : on choisit une clôture algébrique Lo de LQ, ainsi qu'une extension K ' de ATo, contenue dans Zoî de même groupe

Quand les espaces des entrées et des sorties sont multidimensionnels, la réalisation obtenue avec les invariants de Vapplication n'est pas minimale ; on donne un algorithme pour

Une extension L/K est s´ eparable si c’est une extension alg´ ebrique et que le polynˆ ome minimal sur K de tout ´ el´ ement dans L admet des racines distinctes dans L.. Un corps K

Corollaire 1.— Soit (k, v) un corps discrêtement