��� POLYNÔMES IRRÉDUCTIBLES À UNE INDÉTERMINÉE. CORPS DE RUPTURE. EXEMPLES ET APPLICATIONS.
SoitKun corps etAun anneau intègre, tous deux commutatifs.
I. Polynômes irréductibles
[Per��, §II.�/III.�, p��–��/��] [Rom��, §��.�, p���]I. A. Irréductibilité
Définition de l’irréductibilité de polynômes
Dans le cas d’un corps : simplification de l’irréductibilité, cas des polynômes de degré 1, exemples, lien entre réductibilité et existence de racines pourdeg(P)Æ3
Lemme d’E������pourA[X]principal/factoriel, exemple de(X2 + 1)2réductible surR[X] bien qu’il n’admette pas de racine
Décomposition en produit d’irréductibles Il y a une infinité de polynômes irréductibles
I. B. Propriétés de A[X]
[Per��, §II.�, p��]A[X]principal correspond àAest un corps Afactoriel impliqueA[X]factoriel
Notion de contenu, polynôme primitif, lemme deG����
Dans un corps :Pirréductible si et seulement si(P)maximal
I. C. Critères d’irréductibilité
[FGN��, §�.��, p���–���]On suppose queAest un anneau factoriel
Lien entre les irréductibles deAet les irréductibles deFrac(A) P�����������. [������� �’E���������]
SoitP =qn
i=0aiXiœA[X]. SoitpœApremier. Sip-an,’i < n, p|aietp2-a0, alors Pest irréductible dansFrac(A)[X].
E�������. SimœZa un facteur premier sans carré alorsXn≠mest irréductible dansZ[X] pour toutnœN.
P�����������. SoitIun idéal premier deAetB =A/I. SoitP =qr
i=0aiXiœA[X]et Pla réduction dePmoduloI. SiandansB, et siPest irréductible surBouFrac(B), alorsP est irréductible surK.
Que l’on reformule dans le casA=Z,I= (p),B=Fp: P�����������. SoitpœPetP=qr
i=0aiXiœZ[X]. SoitPla réduction dePmodulop.
Sip-anet siPest irréductible dansFp[X], alorsPest irréductible dansQ[X].
E�������. X3+462X2+2433X≠67691est irréductible dansZ[X], tout commeXp≠X≠1 pour toutpœP.
Cependant la réciproque est fausse, mais dans certains cas particuliers on peut s’en tirer en jonglant entre les corps utilisés
II. Extensions de corps et polynômes
II. A. Extensions de corps
[Per��, §III.�, p��–��]On ne considère que des corps commutatifs.
D����������. [��������� �� �����,�����]
SoientKetLdeux corps tels queKµL. On dit queLest une extension de corps deK. Lest alors unK-e.v.. Lorsquedim(L)est fini, on note[L : K] = dim(L)et on l’appelle le degré deLsurK. On dit alors que l’extension est finie.
E�������. RµC,QµQ(i).
Degré d’une extension, exemples
T��������. [�������� �� �� ���� ������������]
SoientK,L,Mdes corps,(ei)iœI une base deLsurK,(fj)jœJune base deMsurL. Alors (eifj)(i,j)œI◊Jest une base deMsurK. En particulier, lorsque deux des degrés d’extensions sont finis, le troisième aussi et on a[M:K] = [M:L][L:K].
D����������. [������� ����������,������������]
SoitLune extension deK, soit–œL. Soit„:K[T]≠æLle morphisme d’anneaux tel que
„|K= idet„(T) =–.
Si„est injectif, on dit que–est transcendant surK. Sinon,–œ Lest algébrique surKet P œK[X]unitaire tel queker(„) = (P).Pest appelé polynôme minimal de–.
E��������. Ô2, isont algébriques surQ.eetfisont transcendants surQ.
T���������. [��������������� �’�� ����������]
SoitLune extension deK. Pour–œL, on a :
–est algébrique surK≈∆K[–] =K(–)≈∆dim(K[–])<+Œ
Liens entre irréductibilité et degré des extensions [Per��, §III.�, p��–��]
ÉNS Paris-Saclay –����/���� AntoineB������–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur���
Agrégation – Leçons ���– Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
II. B. Corps de rupture et de décomposition
[Per��, §III.�.c, p��]Corps de rupture d’un polynôme irréductible, existence et unicité à isomorphisme près.
Exemple deC, deQ[Ô2]
Degré du corps de rupture
Corps de décomposition, existence et unicité à isomorphisme près Exemple deQ(i,Ô
Théorème de l’élément primitif2)
II. C. Cloture algébrique
[Per��, §III.�.c, p��]Extension algébrique, corps algébriquement clos, formulations équivalentes
Théorème de�’A�������-G���� [Rom��, p���]
Application : toute matrice deMn(C)est trigonalisable
Polynôme ne s’annulant pas sur un corps finiætout corps fini n’est pas algébriquement clos Clôture algébrique, tout corps admet une clôture algébrique unique à isomorphisme près
III. Polynômes cyclotomiques
[Per��, §�.�, p��] [Rom��, §��.��.�, p���]SoitnœNú.
D�����������. [��������� �������������]
On définit len-ième polynôme cyclotomique nœCn[X]par n(X) =r
’œU◊n(X≠’).
P������������.
(i) nest unitaire de degréÏ(n) = card({kœ[1, n]|k·n= 1}).
(ii) Xn≠1 =r
d|n d. En particulier, sinest premier : n=Xn≠1.
C�����������.
• On en déduit la fameuse formule„(n) =q
d|n„(d).
• PournØ2,q
ÊœUnÊ= 0.
P������������. n œZ[X].
T���������. nest irréductible surZet donc surQ. C�����������. On a[Q[e2ifi/n] :Q] =Ï(n).
A������������. Théorème deD��������faible
������������
Autres références : [BMP��,Gou��].
���������
Q X4+ 1est-il irréductible?
R Oui, il n’a pas de racine et on peut appliquer le critère d’E���������à(X + 1)4+ 1avec p= 2.
Q X4+ 1est-il irréductible surFp?
R SurFp2cyclique,X8≠1 = (X4+ 1)(X4≠1)et8|(p2≠1) = (p≠1)(p+ 1).
Q Peut-on construire une famille de polynômes(Xn+a)nirréductibles surQpour toutn?
�������������
[BMP��] V.B���, J.M�����et G.P����:Objectif Agrégation. H&K,�èmeédition,����.
[FGN��] S.F��������, H.G�������et S.N������:Oraux X-ENS - Algèbre�. Cassini,����.
[Gou��] X.G������:Les maths en tête - Algèbre. Ellipses,�èmeédition,����.
[Per��] D.P�����:Cours d’algèbre. Ellipses,����.
[Rom��] J.-E.R�������: Mathématiques pour l’agrégation : Algèbre et géométrie. De Boeck,
����.
ÉNS Paris-Saclay –����/���� AntoineB������–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur���