Expression d’un polynôme symétrique en fonction des polynômes symétriques élémentaires

Expression d’un polynôme symétrique en fonction des polynômes symétriques élémentaires

2012-2013

On note :

σk(X1, . . . , Xn) := X

1≤i1<...<ik≤n

Xi₁· · ·Xi_k

lek-ième polynôme symétrique élémentaire.

SoitP un polynôme symétrique. Le but est ici d’écrireP comme polynôme en lesσk.

Si m:=X₁ⁱ¹· · ·X_nⁱⁿ est un monôme de P, alors il existei⁰₁ ≥. . . ≥i⁰_n obtenus par permutation desik tels queXⁱ

0 1

1 · · ·Xⁱ

0

nn soit un monôme deP.

Le degré demest alors (i⁰₁, . . . , i⁰_n), puis le degré deP est le max (selon l’ordre lexicographique) des degrés de ses monômes.

On a alors :

degσi= (1, . . . ,1

| {z }

i

,0, . . . ,0)

Soit désormaism:=X₁ⁱ¹· · ·X_nⁱⁿ, i₁≥. . .≥i_n le monôme de degré maximal de P. On pose :

Q:=σ₁ⁱ¹⁻ⁱ²σ₂ⁱ²⁻ⁱ³· · ·σ_n−1^in−1−inσ_nⁱⁿ

On a degQ= (i1, . . . , in). Alors, siaest le coefficient demdansP, deg(P−aQ)<degP

Puis on recommence surP−aQ.

Exemple.

P :=X₁X₂²+X₁X₃²+X₂X₁²+X₂X₃²+X₃X₁²+X₃X₂² dansk[X1, X2, X3].

Alors degP = (2,1,0), on pose donc : Q:=σ1σ2

= (X₁+X₂+X₃)(X₁X₂+X₁X₃+X₂X₃)

=X₁X₂²+X₁X₃²+X₂X₁²+X₂X₃²+X₃X₁²+X₃X₂²+ 3X₁X₂X₃

1

D’où :

P−Q=−3σ3

Finalement :

P =σ1σ2−3σ3

2