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M2 mathématiques générales 2019-2020 Révisions écrits, printemps 2020

Université de Franche-Comté C. Armana

Feuille d’exercices

Révisions sur les polynômes à plusieurs indéterminées

Dans toute la feuille,K désigne un corps commutatif.

Lesindications sont cliquables sur le fichier PDF et se trouvent en fin de feuille.

Exercice 1. (Propriétés élémentaires d’anneaux de polynômes) 1) Montrer que l’anneauK[x] est intègre et principal.

2) Qu’en est-il de l’anneauK[x1, . . . , xn] avec n≥2 ? 3) Rappeler pourquoi l’anneauK[x1, . . . , xn] est factoriel.

Exercice 2. (Fonctions polynomiales, prolongement des identités algébriques)

Soit P ∈K[x1, . . . , x_d] avecd≥1. Lafonction polynomiale Pe associée àP est définie par

Pe : K^d −→ K

(α1, . . . , αd) 7−→ P(α1, . . . , αd).

1) Si d= 1 c’est-à-direP ∈K[x], discuter la véracité de l’assertion :P = 0 ⇐⇒ Pe=e0.

2) On suppose qued≥1 et quele corps K est infini.

a) SoitP ∈K[x1, . . . , x_d] avecP 6= 0. Peut-on dire que l’application polynomiale Pe n’a qu’un nombre fini de zéros dans K^d?

b) Si Pe =e0, démontrer que P = 0. Indication

c) Plus généralement, siPe est identiquement nulle surS₁× · · · ×S_doù lesS_i sont des parties infinies de K, démontrer que P = 0 (par une méthode similaire à celle de la question b).

d) SoientQ1, . . . , Qn des polynômes non nuls deK[x1, . . . , x_d]. Pour touti∈ {1, . . . , n}

on pose V(Q_i) ={(α₁, . . . , α_d)∈K^d|Q_i(α₁, . . . , α_d) = 0}et S=V(Q1)∪ · · · ∪V(Qn).

En utilisant la question 2b, démontrer que si l’applicationPe est identiquement nulle surK^d−SalorsP = 0 (principe de prolongement des identités algébriques).Indication

e) Application. SiA et B sont deux matrices deM_n(K), démontrer queAB et BAont

même polynôme caractéristique. Indication

f) Application. Démontrer que le K-espace vectoriel Kⁿ n’est pas réunion d’un nombre

fini d’hyperplans. Indication

Rappel. Le groupe symétrique S_n agit sur la K-algèbre K[X₁, . . . , X_n] des polynômes à nindéterminées de la manière suivante :σ ∈S_nenvoie P ∈K[X1, . . . , Xn] sur le polynôme^σP défini par :

σP(X₁, . . . , X_n) =P(X_σ(1), . . . , X_σ(n)).

Un polynômePest ditsymétriquelorsque pour toutσ∈S_n,^σP =P. Lethéorème des polynômes symétriquesaffirme que tout polynôme symétrique s’écrit comme un unique polynôme en les polynômes symétriques élémentairess₁, . . . , sn, ces derniers étant définis par

s_p(X₁, . . . , X_n) = ^X

i1<···<ip

X_i1· · ·X_ip (1≤p≤n).

Autrement dit, il y a un isomorphisme deK-algèbres de K[S₁, . . . , S_n] vers la sous-algèbre de K[X1, . . . , Xn] formée des polynômes symétriques, qui est donné parSi 7→sipouri∈ {1, . . . , n}.

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Révisions écrits, printemps 2020 2/3

Exercice 3. (Fractions rationnelles symétriques) Soit F = ^P_Q une fraction rationnelle dans K(X1, . . . , Xn). Pour tout σ∈S_n on pose

σF =

σP

σQ.

On dit queF est symétriquelorsque pour toutσ ∈S_n,^σF =F.

1) Montrer que toute fraction rationnelle symétrique peut s’écrire sous la forme _Q^P0

0 oùP0 et Q₀ sont des polynômes symétriques.

2) Montrer que l’applicationK(S1, . . . , Sn)→K(X1, . . . , Xn) qui envoieSi sur si induit un isomorphisme entre K(S₁, . . . , S_n) et le sous-corps des fractions rationnelles symétriques de K(X1, . . . , Xn).

Exercice 4. (Polynômes antisymétriques) Un polynômeP ∈K[X1, . . . , Xn] est ditantisymé- trique lorsqu’il vérifie :

∀σ ∈S_n, ^σP =ε(σ)P

oùεdésigne la signature.

1) Montrer que le polynôme de Vandermonde ∆ =^Q_i<j(X_i−X_j) est antisymétrique.Indication

2) On suppose que le corps K est de caractéristique 6= 2. Montrer que tout polynôme antisymétriqueP s’écrit sous la forme ∆QavecQpolynôme symétrique deK[X1, . . . , Xn].

Indication

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Indications

Exercice 2 question 2b : raisonner par récurrence surd.

Exercice 2 question 2d : considérer le polynômePQn i=1Qi.

Exercice 2 question 2e : traiter le cas oùAest inversible, puis utiliser le principe de prolongement des identités algébriques.

Exercice 2 question 2f : raisonner par l’absurde et considérer le polynôme donné par le produit des formes linéaires définissant les hyperplans.

Exercice 4 question 1 : regarder ce qui se passe pour les transpositions.

Exercice 4 question 2 : montrer d’abord que ∆ divise P dans K[X₁, . . . , X_n] à l’aide d’une division euclidienne bien choisie.