DS 8 : 4h
Mars 2018
L’usage des calculatrices n’est pas autorisé
L’étudiant attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction, même si tout résultat qui n’est pas explicitement dans le cours de MPSI ou de MP doit être démontré. Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et
poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
Consignes à respecter sous peine d’être pénalisé :
•Changer de copie (ou au moins de feuille) à chaque exercice ou partie d’un problème.
• Numéroter les questions (et le cas échéant la partie).
•Souligner les résultats intermédiaires dans une démonstration à tiroirs, faire une phrase de conclusion et encadrer le résultat.
Exercice
On désigne parE0 leR-espace vectoriel des applications continues de[a, b]dansRoùaetb sont donnés aveca < b, muni de la norme
||f||= sup
[a,b]
|f|= sup
t∈[a,b]
|f(t)|.
On désigne parE1 le sous-espace deE0 des applications de classeC1 sur[a, b].
Pour toutf ∈E0, on désigne parL(f)la primitiveF def qui vérifie Z b a
F(t) dt= 0. On poseL0=Id (application identité) et pourn≥1, Ln=L◦Ln−1.
On désigne par(Pn)n∈N la suite de polynômes définie parP0= 1 et Pn =Ln(P0)où l’on désigne par le même symbole le polynôme et la restriction de sa fonction polynomiale associée définie sur[a, b].
1. a. Montrer queLest bien définie, est un endomorphisme de E0et déterminer son noyau kerL.
b. Montrer que l’image de L est incluse dans E1. La restriction à E1 de cet endomorphisme L définit-elle un automorphisme deE1 (justifier avec précision votre réponse) ?
2. Soitf ∈E0.
a. Démontrer l’égalitéL(f)(t) = 1 b−a
Z b
a
ÇZ t
x
f(u) du å
dxpour touttdans[a, b]. b. Démontrer l’existence de deux réelsxi etxsdans[a, b]tels que pour toutt dans[a, b]:
L(f)(xi)≤L(f)(t)≤L(f)(xs).
c. Calculer la borne supérieureαdeZ b a
|x−t|dtlorsque xdécrit[a, b]. d. L’endomorphismeLest-il continu (justifier la réponse) ?
e. Calculer||L(P0)||ainsi que|||L|||= supf∈E0,||f||≤1||L(f)||.
3. a. Exprimer P1, P2 etP3en fonction de la variable t−a.
b. Établir l’égalitéPn(X+b−a)−Pn(X) = (b−a)(X−a)n−1
(n−1)! pour toutn∈N∗. 4. SoitP=R[X]. On définit l’application surP2 :
φ: (P, Q)7→φ(P, Q) = 1 b−a
Z b
a
P(t)Q(t) dt.
a. Montrer queφest un produit scalaire.
b. Montrer que pour toutk≥2,Pk(a) =Pk(b).
5. Montrer, par exemple à l’aide d’intégrations par parties, que sim, nsont deux entiers vérifiant les relationsm≥n >0, on a :
φ(Pn, Pm) = (−1)n+1Pn+m(a)et φ(Pn, P0) = 0.
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Problème
Notations et objectifs
Dans tout le texte,Kdésigne le corpsRouCet pun entier naturel non nul.
On noteMp(K)leKespace vectoriel des matrices carrées de taillepà coefficients dansKetIp la matrice unité deMp(K).
On pourra confondreM1(K)etK.
Une matriceN deMp(K)est dite nilpotente s’il existe un entier naturelrtel queNr= 0.
Si M1, . . . , Mk sont des matrices carrées, la matrice diag(M1, . . . Mk) désigne la matrice diagonale par blocs dont les blocs diagonaux sontM1, . . . Mk.
SiE est unK-espace vectoriel, on note idE l’application identité surE. Enfin, on noteK[X]laK-algèbre des polynômes à coefficients dansK.
On dit qu’une matriceAdeMp(K)est “toute-puissante sur K” et on notera en abrégé TPKsi pour toutn∈N∗, il existe une matriceB deMp(K)telle queA=Bn.
On noteTp(K)l’ensemble des matrices deMp(K)toutes-puissantes surK: Tp(K) ={A∈ Mp(K)|∀n∈N∗,∃B∈ Mp(K), A=Bn}.
L’objectif principal du sujet est d’établir le résultat suivant :“toute matrice inversible deMp(C)estT PC.
Partie 1 : quelques exemples
1. Le cas de la taille 1
a. Démontrer queT1(R) = [0,+∞[.
b. Soientn∈N∗ etb=reiθavecr >0etθ∈R. Donner les racinesn-ièmes du nombre complexe b, c’est à dire les solutions de l’équationzn =b d’inconnuez∈C.
c. En déduireT1(C). 2. Une condition nécessaire...
a. Démontrer que siA∈Tp(K), alorsdetA∈T1(K).
b. En déduire un exemple de matrice deM2(R)qui n’est pasT PR.
3. ... mais pas suffisante.
SoitA =
Å−1 0 0 −2
ã. Démontrer qu’il n’existe aucune matrice B = Åa b
c d ã
∈ M2(R)telle que A=B2. En déduire que la condition nécessaire de la question précédente n’est pas suffisante.
4. Un cas oùAest diagonalisable.
SoitA=
Ñ 0 3 2
−2 5 2
2 −3 0
é .
a. Démontrer queAest diagonalisable surR(le détail des calculs n’est pas demandé).
b. Démontrer que la matrice AestT PR.
5. Un exemple de nature géométrique SoitA=
Å−1 0 0 −1
ã.
a. Justifier queAest la matrice d’une rotation vectorielle dont on précisera une mesure de l’angle.
b. En déduire que AestT PR.
6. Le cas des matrices nilpotentes
SoitN une matrice nilpotente deMp(K).
a. Déterminer le polynôme caractéristique deN.
b. Démontrer que siN estT PK, alorsN est la matrice nulle.
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Partie 2 : le cas où le polynôme caractéristique est scindé
Dans toute cette partie,A désigne une matrice deMp(K)dont le polynôme caractéristique notéχA est scindé surK, c’est à dire de la forme
χA=
k
Y
i=1
(X−λi)ri,
aveck, r1, . . . , rk des entiers deN∗ etλ1, . . . , λk les valeurs propres deA, éléments deK.
On noteBla base canonique deKp etul’endomorphisme deKp dontAest la matrice dans la baseB.
Enfin, pouri∈ {1, . . . k}, on note Ci= ker(u−λiidKp)ri que l’on appelle sous-espace caractéristique de uassocié à la valeur propreλi.
1. Démontrer queKp=C1⊕ · · · ⊕Ck.
2. a. Soitv un endomorphisme deKp qui commute avecuet Qun polynôme à coefficients dans K.
Démontrer quekerQ(u)est stable par v.
b. En déduire que pour touti∈ {1, . . . , k}, le sous-espace caractéristiqueCi est stable paru. On note ainsiuCi l’endomorphisme induit parusurCi.
3. Soiti∈ {1, . . . , k}. Justifier que l’applicationuCi−λiidCi est un endomorphisme deCinilpotent.
4. En déduire que la matriceApeut s’écrire sous la forme
A=P diag(λ1Ip1+N1, . . . , λkIpk+Nk)P−1,
avecP une matrice inversible deMp(K)et pour tout i ∈ {1, . . . , k}, pi = dimCi et Ni est une matrice nilpotente deMpi(K).
On rappelle que diag(λ1Ip1+N1, . . . , λkIpk+Nk)désigne la matrice diagonale par blocs de premier blocλ1Ip1+N1, de deuxième blocλ2Ip2+N2et de dernier blocλkIpk+Nk.
5. Démontrer que, si pour touti∈ {1, . . . , k} la matriceλiIpi+Ni estT PK, alors Aest elle-même T PK.
Partie 3 : le cas des matrices unipotentes
Soit N une matrice nilpotente de Mp(K). Nous allons montrer que la matrice unipotente Ip+N est T PK.
On pourra confondre polynôme et fonction polynôme.
On rappelle que sif est une fonction, la notationf(x) =o(xp)signifie qu’il existe une fonctionεtendant vers 0 en 0 telle quef(x) =xpε(x)au voisinage de0.
1. Une application des développements limités
a. SoitV un polynôme deR[X]tel que V(x) =o(xp)au voisinage de0.
Démontrer, à l’aide d’une division euclidienne, qu’il existe un polynôme Q de R[X] tel que V =Xp×Q.
b. Soitn∈N∗. Démontrer l’existence d’un polynômeU deR[X] tel que l’on ait, au voisinage de 0 :
1 +x= (U(x))n+o(xp).
(on pourra utiliser un développement limité de(1 +x)α).
c. En déduire que, pour tout n∈N∗, il existe un polynôme QdeR[X]tel que 1 +X =Un+Xp×Q.
2. Applications
a. Démontrer que la matrice unipotenteIp+N estT PK.
b. Soitλ∈Knon nul. En déduire que siλest T PK, alors la matriceλIp+N est T PK.
3. Le résultat annoncé
a. Conclure que toute matrice inversible deMp(C)estT PC.
b. Toute matrice deMp(C)est-elleT PC?
4. Donner un exemple de matrice deM4(R)non diagonalisable et non inversible qui estT PR.
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