MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures

SESSION 2012 PSIM206

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI ____________________

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures ____________________

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

___________________________________________________________________________________

R C

n ≥ 2 K = R C M

ⁿ

( K )

M

^n,1

( K ) K n K

n K A = (a

i,j

)

a

i,j

i j A

^t

A

A

A M

ⁿ

( K ) (A) A (A) A

p

C

(A) A λ ∈ Sp

C

(A) E

λ

(A)

X ∈ M

n,1

( C ) AX = λX I

n

M

ⁿ

( K )

[[1, n]] k 1 ≤ k ≤ n

z | z | z

A = (a

i,j

) ∈ M

ⁿ

( R ) ST > 0 (1) ∀ (i, j) ∈ [[1, n]] × [[1, n]], a

i,j

> 0, (2) ∀ i ∈ [[1, n]],

n

X

j=1

a

i,j

= 1.

M

ⁿ

( R ) ST > 0 ST > 0

ST > 0

n = 3 z M (z)

z = x+ iy (x, y)

P (1), Q(j), R(j

²

) j = e

^2iπ3

T D

O M(z)

| z | < 1

T D x y

P QR (P Q),(QR) (RP)

M(x + iy) T x y

2x + 1 > 0, x − √

3y − 1 < 0, x + √

3y − 1 < 0 .

A = (a

i,j

) ∈ M

³

( R ) ST > 0

A

A λ λ 0 < | λ | < 1 λ = a + ib

(A) (A

²

) λ λ a b

(A) > 0 (A

²

) > a

²_1,1

+ a

²_2,2

+ a

²_3,3

tr(A)

2

< 3tr(A

²

)

u = (a

1,1

, a

2,2

, a

3,3

) v = (1, 1, 1) R

³

2a + 1 > 0 (a − √

3b − 1)(a + √

3b − 1) > 0 .

M(λ) T

D P QR

λ = re

^iθ

0 < r < 1 0 < θ < π

M(λ) T

α = 1 + 2r cos(θ)

3 , β = 1 + 2r cos(θ +

^2π₃

)

3 , γ = 1 − 2r cos(θ +

^π₃

) 3 α = 1 + λ + λ

3 , β = 1 + jλ + j

²

λ

3 , γ = 1 + j

²

λ + jλ 3 A =





 α β γ γ α β β γ α







A ST > 0

J =





 0 1 0 0 0 1 1 0 0





 J

²

J

³

J

A I

₃

, J J

²

P ≤ 2 A = P (J ) λ λ

A

A = (a

i,j

) M

n

( R ) ST > 0

U =





 1 1





 ∈ M

n,1

( R )

AU A

C

B = (b

i,j

) ∈ M

n

( C ) (B) = 0 X =





 x

₁

x

n





 ∈ M

n,1

( C ) X 6 = 0 BX = 0 k ∈ [[1, n]] | x

_k

| = max

i∈[[1,n]]

| x

_i

|

| b

k,k

| ≤ X

j6=k

| b

k,j

| .

λ ∈ Sp

C

(A) B = A − λI

_n

| a

k,k

− λ | ≤ 1 − a

k,k

k | λ | ≤ 1 λ ∈ Sp

C

(A) | λ | = 1 λ = e

^iθ

θ ∈ R

| a

k,k

− e

^iθ

| ≤ 1 − a

k,k

cos(θ) = 1 λ

1

1 ∈ Sp

C

( A)

^t

A − I

n t

A − I

n

E

₁

(A) E

₁

( A)

^t

V =





 v

₁

v

n





 ∈ M

n,1

( C ), V 6 = 0

^t

AV = V i ∈ [[1, n]]

| v

i

| ≤ X

j∈[[1,n]]

a

j,i

| v

j

| X

i∈[[1,n]]

| v

i

|

| V | =







| v

₁

|

| v

n

|







V A

^t

| V | = | V | i ∈ [[1, n]] | v

i

| > 0

X =





 x

1

x

n





 Y =





 y

1

y

n





 M

n,1

( C )

E

1

( A)

^t

X − x

₁

y

₁

Y E

1

( A)

^t

Ω =





 ω

₁

ω

_n





 E

₁

(

^t

A) i ∈ [[1, n]] ω

_i

> 0

n

X

i=1

ω

_i

= 1

i ∈ [[1, n]]

n

X

j=1

a

j,i

ω

j

= ω

i t

A A

^t

Ω =





 ω

₁

ω

n







N : M

n,1

( C ) → R

∀ X =





 x

₁

x

n





 ∈ M

n,1

( C ), N (X) = X

i∈[[1,n]]

ω

_i

| x

_i

| .

N M

n,1

( C ) X ∈ M

n,1

( C )

N(AX) ≤ N(X) λ ∈ Sp

C

(A) | λ | ≤ 1

Ω =





 ω

₁

ω

_n





 Φ : M

n,1

( C ) → C

∀ X =





 x

₁

x

n





 ∈ M

n,1

( C ), Φ(X) =

n

X

i=1

ω

_i

x

_i

.

(Φ) Φ

X ∈ M

n,1

( C ) Φ(AX ) = Φ(X) M

n,1

( C ) = E

1

(A) ⊕ Ker(Φ)

X ∈ E

λ

(A) λ 6 = 1 X ∈ Ker(Φ)

A