MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures

CCP Maths 1 MP 2012 — Énoncé 1 / 4

SESSION 2012 MPM1002

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP ____________________

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures ____________________

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

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CCP Maths 1 MP 2012 — Énoncé 2 / 4

E C ¹ [0;1]

R

f ∈ E k f k = | f (0)| + 2

Z 1 0

| f ^′ ( t )| t k f k ^′ = 2 | f (0)| + Z 1

0

| f ^′ ( t )| t .

k k E

k k ^′ E

k k k k ^′ E

E k k

I J R g I × J R

x ∈ I, t 7→ g ( x, t ) J

x ∈ I, f (x) = Z

J

g(x, t) t

f I

x ∈ R , f 1 ( x ) = Z +∞

0

arctan( xt ) 1 + t ² t

f 1 R

x ∈ [0, +∞[ , f 2 (x) = Z +∞

0

x ^{− xt} t f 2 ( x ) x ∈ [0 , +∞[

f 2 [0, +∞[

Z

γ

− y

x ² + y ² x + x

x ² + y ² y γ

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CCP Maths 1 MP 2012 — Énoncé 3 / 4

P f n I R

P f n I x ∈ I

P | f n ( x )|

f n I

P f n I

P f n I

P f n I

P f n I P

f n

I

I

x ∈ [0; 1] f n (x) = (−1) ⁿ

x ² + n n ²

P f n

[0; 1] [0; 1] .

P f n I P

f n

I

(α ⁿ ) ⁿ ≥1 I = [0; 1[

x ∈ I f n ( x ) = α n x ⁿ (1 − x )

(α ⁿ ) ⁿ _≥1 P

n ≥1

f n

I

n > 1 kf ⁿ k _∞ = sup

x ∈ I

|f ⁿ (x)|

P

n ≥1

f n I

P

n ≥1 α

n

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CCP Maths 1 MP 2012 — Énoncé 4 / 4

x ∈ I X

k=n+1

x ^k

(α n ) n≥1

P

n≥1

f n I

k ≥ n + 1 α k ≤ α n+1

P

n≥1

f n

I (α n ) n≥1

( α n ) n≥1

P

n≥1

f n I

P

n≥1

f n I

P

n≥1

f n I

I

I

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