CCP Maths 2 MP 2012 — Énoncé 1 / 4
SESSION 2012 MPM2006
EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP ____________________
MATHEMATIQUES 2
Durée : 4 heures ____________________
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
___________________________________________________________________________________
p 3
p≡ 1
n 3
n+2012− 9 × 5
2nn
M
n( R ) n (E
i,j)
1 ≤ i ≤ n 1 ≤ j ≤ n I
nE
i,ji j
R [X]
A M
n( R ) u R
nA P =
P
d k=0a
kX
k∈ R [X] P (A) = P
d k=0a
kA
kP (A)
P ∈ R [X] R [A]
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CCP Maths 2 MP 2012 — Énoncé 2 / 4
P A P(A) = 0 P(u) = 0
A u
A
ϕ
AM
n(R) M
n(R)
ϕ
A(M) = AM − M A.
ϕ
Aϕ
An = 2
n = 2
ϕ
AI
2A (ϕ
A)
A = a b c d
!
∈ M
2(R)
ϕ
A(E
1,1, E
2,2, E
1,2, E
2,1) M
2(R)
ϕ
A6= 0 A 6= λI
2λ ∈ R
ϕ
Aϕ
A(d − a)
2+ 4bc > 0
ϕ
AA
c = (c
1, . . . , c
n) R
nA
e = (e
1, . . . , e
n) u
i 1 ≤ i ≤ n λ
ie
iP c e D =
λ
10 · · · 0 0
0 0 · · · 0 λ
n
(i, j) 1 ≤ i ≤ n 1 ≤ j ≤ n
B
i,j= P E
i,jP
−1.
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CCP Maths 2 MP 2012 — Énoncé 3 / 4
(i, j) DE
i,j− E
i,jD E
i,jλ
iλ
j(i, j) B
i,jϕ
Aϕ
Aϕ
AM
n( R )
(P
i,j)
1≤i≤n1≤j≤n
ϕ
A(i, j) λ
i,jP
i,jA
A ∈ M
n( R ) ⊂ M
n( C ) ϕ
AM
n( C ) ϕ
A(M ) = AM − M A M ∈ M
n( C )
ϕ
Az ∈ C z A z
t
A
z ∈ C z z ¯ A
X ∈ M
n,1( C ) X 6= 0 Y ∈ M
n,1( C ) Y 6= 0 AX = zX
t