SESSION 2012 MPM1002
EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP ____________________
MATHEMATIQUES 1
Durée : 4 heures ____________________
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
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Tournez la page S.V.P.
E C1 [0;1]
R
f ∈ E
kf k = |f (0)| + 2 Z 1
0
|f′(t)| t kf k′ = 2 |f (0)| + Z 1
0
|f′(t)| t .
k k E
k k′ E
k k k k′ E
E k k
I J R g I× J R
x∈ I, t 7→ g(x, t) J
x∈ I, f (x) = Z
J
g(x, t) t
f I
x∈ R, f1(x) = Z +∞
0
arctan(xt) 1 + t2 t
f1 R
x∈ [0, +∞[ , f2(x) = Z +∞
0
x −xt t f2(x) x∈ [0, +∞[
f2 [0, +∞[
Z
γ
−y
x2+ y2 x+ x
x2+ y2 y γ
P fn I R
P fn I x ∈ I
P |fn(x)|
fn I
P fn I
P fn I
P fn I
P fn I P fn
I
I
x∈ [0; 1] fn(x) = (−1)n x2+ n n2
P fn
[0; 1] [0; 1] .
P fn I P fn
I
(αn)n≥1 I = [0; 1[
x∈ I fn(x) = αnxn(1 − x)
(αn)n≥1 P
n≥1
fn
I
n >1 kfnk∞= sup
x∈I
|fn(x)|
P
n≥1
fn I
P
n≥1 αn
n
Tournez la page S.V.P.
x ∈ I X∞ k=n+1
xk
(αn)n≥1
P
n≥1
fn I
k ≥ n+ 1 αk ≤αn+1
P
n≥1
fn
I (αn)n≥1
(αn)n≥1
P
n≥1
fn I
P
n≥1
fn I
P
n≥1
fn I
I
I
IMPRIMERIE NATIONALE – 12 1232 – D’après documents fournis