MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures

SESSION 2012 PSIM102

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI ____________________

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures ____________________

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

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R C

n K R

C

M_n(K) M_n,1(K) K n

K n K

A= (a_i,j) a_i,j i j

A A M_n(K) A⁻¹

I R F K

A:I→F t

I A(t)

I K A I

A(t) ="

a_i,j(t)

t I

A^′(t) ="

a^′_i,j(t)

M(t) N(t)

"

M N′

(t) =M^′(t)N(t) +M(t)N^′(t)

I R A n I B

n I A B

K

(E) :X^′(t) =A(t)X(t) +B(t) X(t)

n I

K

(E0) : X^′(t) =A(t)X(t)

(E) (E0) S0

(E⁰)

S0 K n

(E) S0

(E)

t0 I V M_n,1(K) X

(E) I X(t0) =V I

(E⁰) (X¹, . . . , Xn) S0

W(t) ="

X1(t), . . . , X_n(t)

n X_j(t)

W(t) (E0)

(E) (E0)

(E) : X^′(t) =AX(t) +B(t) (E0) : X^′(t) =AX(t)

A M_n(K)

I=R

V M_n,1(K) λ K

X(t) =e^λtV (E0) V A

λ

n= 4 A=











0 −1 1 −1

0 2 0 0

0 1 1 0

1 −1 1 0











B(t) =









 te^t

e^t 0

−te^t











K=C (E0)

A

(E0) I=R

K=R (E) : X^′(t) =AX(t) +B(t)

X(t) =









 x1(t) x₂(t) x3(t) x₄(t)











x_k(t)

(E) I =R

x2(t) x3(t) x1(t) x4(t)

X (E) X(0) =











−1

−1

−1 0











(E) : X^′(t) =A(t)X(t) +B(t)

I R t∈I K=R C

S0 n

(E0)

t0∈I Φt0 S0 M_n,1(K)

∀X∈S0, Φt0(X) =X(t0).

Φt0 S0

M_n,1(K)

X1, . . . , Xn (E0)

t0 t I V ∈ M_n,1(K) X ∈ S0 (E0)

X(t0) =V Φt◦Φ⁻_t0¹

(V) =X(t)

S0 (X1, . . . , Xn) M_n,1(K) (C1, . . . , Cn)

t0∈I

Φt0 S0 M_n,1(K)

W(t0) = X1(t0), . . . , Xn(t0) . t0 t I R(t, t0) =W(t) W(t0)−1

R(t, t0) (X1, . . . , Xn)

R(t, t0) (E0)

t, t0, t1 t2 I

R^′(t, t0) t R(t, t0)

R^′(t, t0) =A(t)R(t, t0) V ∈ M_n,1(K)

X(t) =R(t, t0)V (E0) X(t0) =V

R(t2, t1)R(t1, t0) =R(t2, t0) R(t, t0)−1

=R(t0, t)

(E)

t t0 I (E)

X(t) =R(t, t0)V(t), V :I→ Mn,1(K)

X(t) =R(t, t0)V(t) (E) R(t, t0)V^′(t) =B(t).

V(t) = Z t

t0

R(t0, u)B(u) u (E) V(t)

R(t0, u)B(u) Y(t) =

Z t t0

R(t, u)B(u) u (E)

K=R

(e0) : t(t−1)y^′′+ 3y^′−6y= 0,

y=y(t) I

(e0) y(t) = amt^m+· · ·+a0

a_m6= 0

(e0) R P (e0) P(0) = 1

Q(t) = 1

(1−t)² (e0) ]−1; 1[

(e0) y(t) =

X+∞

k=0

a_kt^k

|t|< R R >0

k k ak

ak+1 R

k0 k ≥ k0

ak ak₀ ak

ak0 P Q

(E) : y^′′+a(t)y^′+b(t)y=ϕ(t),

a, b, ϕ I

z z(t) = y^′(t) X(t) = y(t) z(t)

!

A(t) B(t) (E)

(E) : X^′(t) =A(t)X(t) +B(t)

"

f(t), g(t)

I (E0) : y^′′+a(t)y^′+b(t)y= 0

f(t) f^′(t)

! g(t) g^′(t)

!

(E0) : X^′(t) =A(t)X(t) W(t) = f(t) g(t)

f^′(t) g^′(t)

!

t t0 I f f(t) f0 f(t0) g g(t) g0

g(t0) f^′ f^′(t) f0^′ f^′(t0) g^′ g^′(t) g0^′ g^′(t0)

"

W(t0)−1

f0, g0, f0^′, g0^′

R(t, t⁰) f, f0, g, g0, f^′, f0^′, g^′, g^′0

(e) : t(t−1)y^′′+ 3y^′−6y= 20t⁴ I=]0; 1[

(e) (E)

A(t) B(t) (e)

(E) : X^′(t) =A(t)X(t) +B(t)

f(t) =P(t) g(t) =Q(t) P

Q t u ]0; 1[

W(u) Q(t)P(u)−P(t)Q(u)

t t0 ]0; 1[

y(t) = 1 (1−t)²

Z t t0

(4t⁵−5t⁴−4u⁵+ 5u⁴) u

(e) t0= 0

(e) [0; 1[

(e) [0; 1[ y(0) =y^′(0) = 0 ?