CCP Maths 1 PSI 2013 — Énoncé 1/4
Les calculatrices sont autoris´ees.
Notations : On note :
• Nl’ensemble des entiers naturels.
• Rl’ensemble des r´eels etR+l’intervalle[0,+∞[.
Pour tout entier naturelnon noten!la factorielle denavec la convention0! = 1.
Objectifs :
L’objet de ce probl`eme est d’expliciter la valeur d’une fonction (not´eeψ) d´efinie par une int´egrale.
Dans lapartie I, on ´etudie une fonctionfet l’on propose un proc´ed´e de calcul de la limite def en +∞. Lapartie IIest consacr´ee `a l’´etude de deux fonctions (not´eeshetϕ) qui seront utilis´ees dans lapartie III.
EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI ____________________
MATHEMATIQUES 1
Durée : 4 heures ____________________
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
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CCP Maths 1 PSI 2013 — Énoncé 2/4
Partie I
Etude d’une fonction et de sa limite
I.1 Etude de la fonctionf
On notefla fonction d´efinie surRpar :
f(x) =
x
0
exp(−t2)dt=
x
0
e−t2dt.
I.1.1 Montrer quefest une fonction impaire d´erivable surR.
I.1.2 Montrer quefest ind´efiniment d´erivable surR. Pour tout entiern∈N∗, on notef(n) la d´eriv´een-i`eme def. Montrer qu’il existe une fonction polynˆomepn, dont on pr´ecisera le degr´e, telle que pour toutx∈R:
f(n)(x) =pn(x) exp(−x2).
I.1.3 Que peut-on dire de la parit´e depn?
I.1.4 D´emontrer quefadmet une limite finie en+∞(on ne demande pas de calculer cette limite). Dans toute la suite du probl`eme, on note∆cette limite.
I.2 D´eveloppement en s´erie def
I.2.1 Montrer que pour toutx∈R, on af(x) =
+∞
n=0
(−1)n x2n+1 n!(2n+ 1). I.2.2 Expliciterpn(0).
I.3 Calcul de∆
Pour tout entiern, on note :
Wn= π/2
0
cosnx dx.
I.3.1 Montrer que pour tout r´eelu, on aeu≥1 +u.
I.3.2 Soitnun entier naturel non nul. Montrer que :
(1−u)n≤e−nu si u≤1 e−nu≤ (1+u)1 n si u >−1
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CCP Maths 1 PSI 2013 — Énoncé 3/4
I.3.3 D´emontrer que pour tout entiernnon nul, on a :
1
0
1−x2n
dx≤ +∞
0
e−nx2dx≤ +∞
0
dx (1 +x2)n. I.3.4 En d´eduire que pour toutn∈N∗:
W2n+1≤ ∆
√n ≤W2n−2. En admettant queWn+∼∞π
2n, calculer∆.
Partie II
Etude de deux fonctions
II.1 Etude de la fonctionh
II.1.1 Justifier l’existence, pour tout r´eelb, de l’int´egrale :
h(b) = +∞
0
cos(2bt) exp(−t2)dt.
On noteωla forme diff´erentielle d´efinie surR2par :
ω(x, y) =e−(x2−y2)(cos(2xy)dx+ sin(2xy)dy). II.1.2 La forme diff´erentielleωest-elle exacte surR2?
II.1.3 Etant donn´es deux r´eels strictement positifsaet b, on noteP le pav´e deR2d´efini par :0≤x≤aet0≤y≤b. On noteγle bord dePorient´e dans le sens trigonom´etrique.
Quelle est la valeur de l’int´egrale curviligne
γ
ω ?
II.1.4 En ´evaluant l’int´egrale curviligne deωle long des segments qui formentγ, d´eterminer h(b)en fonction debet∆.
II.2 Etude de la fonctionϕ
II.2.1 Montrer que l’on d´efinit une fonctionϕpaire et continue surRen posant :
ϕ(x) = +∞
0
exp
−t2−x2 t2 dt.
II.2.2 Montrer queϕest de classeC1sur]0,+∞[.
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CCP Maths 1 PSI 2013 — Énoncé 4/4
II.2.3 D´eterminer une constanteαtelle que pour toutx∈]0,+∞[on ait : ϕ′(x) =αϕ(x).
II.2.4 Expliciterϕ(x)pourx∈]0,+∞[, puis pourx∈R.
Partie III
Calcul d’une int´egrale
III.1 Etude de la fonctionψ
III.1.1 V´erifier que l’on d´efinit une fonctionψ, continue surR, paire en posant :
ψ(x) =
+∞
0
cos(2xt) 1 +t2 dt.
III.1.2 Calculerψ(0).
III.2 Soitp∈N∗etjpla fonction d´efinie surRpar :
jp(x) =
p
0
yexp
− 1 +x2
y2 dy.
Montrer que(jp)p∈Nest une suite de fonctions continues qui converge simplement surR. Expliciter sa limite.
III.3 D´esormais,ad´esigne un r´eel. Soitn∈N∗etknfonction d´efinie surR+par :
kn(y) =
n
0
yexp
−y2x2
cos(2ax)dx.
Montrer que(kn)n∈N∗ est une suite de fonctions continues qui converge simplement surR+. Expliciter sa limite.
III.4 Soitun,p=
n
0
jp(x) cos(2ax)dxavecn∈N∗etp∈N∗.
III.4.1 Justifier l’existence de lim
p→+∞un,pet l’expliciter sous forme d’une int´egrale.
III.4.2 Montrer queun,p= p
0
kn(y) exp
−y2 dy.
III.5 Justifier l’int´egrabilit´e sur[0,+∞[de la fonctiony→kn(y) exp (−y2).
III.6 Calculerψ(x).
Fin de l’´enonc´e
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