Devoir surveillé 1

Devoir surveillé 1

Vendredi 20 septembre 2019 L’usage des calculatrices est interdit

Vous attacherez la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction, même si tout résultat qui n’est pas explicitement dans le cours de MPSI ou de MP doit être démontré.

Si vous repèrez ce qui semble être une erreur d’énoncé, signalez le sur votre copie et poursuivez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous avez été amené à prendre.

EXERCICE 1 :

On travaille dans tout l’exercice dans l’anneauZ/37Z. On noteU l’ensemble constitué de ses éléments inversibles. On notexla classe d’équivalence dexdansZ/37Z.

1. a. Rappeler la définition de la relation d’équivalenceRdéfinie dansZpermettant de construire Z/37Z.

b. Quelle est la classe d’équivalence de 4?

c. Donner la définition de l’addition usuelle et de la multiplication usuelle dans Z/37Z. Vous montrerez que la multiplication est définie de manière cohérente.

2. a. Démontrer queZ/37Zest un corps.

b. Quel est le cardinal deU?

c. Démontrer que(U,·)est un groupe.

d. Quels sont les ordres possibles d’un élément de(U,·)?

e. Déterminer la classe de2¹⁸(on pourra utiliser l’exponentiation rapide) puis déterminer l’ordre de2 dans(U,·)et conclure queU est cyclique.

f. Déterminer l’ordre de10dans(U,·).

3. a. Déterminer l’inverse de8dansZ/37Z.

b. Résoudre dansZ/37Zl’équation du troisième degréx³+ 1≡0[37]. 4. a. Quels sont les éléments de Z/37Zqui sont égaux à leur propre inverse ?

b. En déduire que 36!≡ −1[37].

5. a. Énoncer puis démontrer le théorème d’Euler dansZ/nZ. Qu’obtient-on dansZ/37Z?

b. Justifier par un argument théorique indépendant des calculs précédents qu’il existex∈Z/37Z\ {0} tel quex¹⁸6= 1[37].

c. Retrouver le fait queU est un groupe monogène.

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PROBLEME :

Soitn∈N. On admet l’existence d’un polynômeT_n tel que

∀θ∈R, T_n(cosθ) = cos(nθ).

On admet l’existence d’un polynômeU_n tel que

∀θ∈R\πZ, U_n(cosθ) =sin((n+ 1)θ) sinθ .

Partie A

1. Justifier que si AetB sont deux polynômes tels que ∀x∈]−1,1[, A(x) =B(x), alorsA=B.

En déduire l’unicité des polynômesT_n etU_n. 2. DéterminerT0, T1, T2, T3.

3. En remarquant que pour tout réelθ, on acos(nθ) =Re (e^iθ)ⁿ, montrer que

∀n∈N, Tn= X

06k6n/2

Çn 2k

å

(X²−1)^kX^n−2k.

4. Montrer que la suite (Tn)_n∈Nvérifie la relation de récurrence

∀n∈N, Tn+2= 2XTn+1−Tn.

5. En déduire pour tout entier naturelnle degré et le coefficient dominant deTn. 6. Soitn∈N. Pour quelsθ∈Ra-t-oncos(nθ) = 0?

Montrer que pour tout entier natureln, le polynômeT_n est scindé sur R, à racines simples appar- tenant à ]−1,1[.

Déterminer les racines de T_n.

7. Vérifier que pour tout n∈N, Un= 1

n+ 1T_n+1⁰ .

8. Montrer que la suite (Un)n∈Nvérifie la même relation de récurrence que la suite (Tn)n∈N.

9. Pour tout entier naturel n, montrer que le polynômeU_n est scindé surRà racines simples appar- tenant à ]−1,1[et determiner les racines deUn.

Partie B :

1. Montrer que







Tm·Tn= 1

2(Tn+m+T_n−m) pour tous entiers06m6n Tm·Un−1= 1

2(Un+m−1+Un−m−1) pour tous entiers06m < n

2. Pour m et n entiers naturels tels quem6n, on se propose de déterminer le quotient Qn,m et le resteRn,mde la division euclidienne deTn parTm.

a. On supposem < n < 3m. Montrer queQn,m= 2Tn−m et queRn,m=−T_|n−2m| (on pourra étudier le cas où2m6n <3mpuis le cas m6n <2m).

b. DéterminerQn,metRn,mlorsquen= 3mpuis lorsquenest de la forme(2p+ 1)mavecp∈N^∗. c. On suppose quem >0et quenn’est pas le produit dempar un entier impair. Montrer qu’il existe un unique entierp>1tel que |n−2pm|< mpuis montrer par récurrence surpque :

Qn,m= 2 T_n−m−T_n−3m+· · ·+ (−1)^p−1T_{n−(2p−1)m} etRn,m= (−1)^pT_|n−2pm|. 2

Partie C

On fixe deux entiers naturelsmet n.

1. Soithle pgcd dansNdem+ 1et n+ 1. En examinant les racines communes àUn etUm, montrer queU_h−1est un pgcd deU_n et U_mdansR[X].

2. Soitg >0le pgcd de metn. On posem1=m/g etn1=n/g.

a. Montrer que sim1 etn1 sont impairs, alorsTg est un pgcd deTn et de Tm.

b. Montrer que si l’un des deux entiersm₁oun₁est pair, alorsT_n etT_msont premiers entre eux.

c. Que peut-on dire des pgcd de Tn et Tm lorsque m et nsont impairs ? Lorsque n et m sont deux puissances de 2 distinctes ?

Partie D :

Dans cette partie, on munit l’ensembleC[X]des polynômes complexes de la loi de composition interne associative donnée par la composition, notée ◦. Plus précisément, étant donné P et Q dans C[X], si P =P+∞

k=0pkX^k, pour une suite presque nulle(pk), on a : P◦Q=

+∞

X

k=0

pkQ^k.

On dit que les polynômesP etQcommutent siP◦Q=Q◦P. On noteC(P)l’ensemble des polynômes complexes qui commutent avec le polynômeP.

On cherche dans cette partie les familles(Fn)_n∈Nde polynômes complexes vérifiant la propriété

(P) :∀n∈N, deg(F_n) =net∀(m, n)∈N², F_n◦F_m=F_m◦F_n. Il est clair que la famille(Xⁿ)_n∈Nconvient.

On noteGl’ensemble des polynômes complexes de degré 1 et pourα∈C, on poseP_α=X²+α.

1. Montrer que la familles(Tn)n∈N vérifie la propriété(P). On pourra comparerTn◦Tmet Tnm. 2. Vérifier queGest un groupe pour la loi◦.

L’inverse d’un élément U deGpour la loi◦sera notéU⁻¹.

3. Soitα∈Cet soitQun polynôme complexe non constant qui commute avecPα. Montrer queQest unitaire.

4. En déduire que pour tout entiern>1, il existe au plus un polynôme de degrénqui commute avec Pα. DéterminerC(X²).

5. Soit P un polynôme complexe de degré 2. Justifier l’existence et l’unicité deU ∈Get α∈Ctels queU◦P◦U⁻¹=Pα. Déterminer ces deux éléments lorsqueP =T2.

6. Justifier que C(T2) ={−1/2} ∪ {Tn, n∈N}.

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