devoir surveillé n ◦ 2 (4h)
Vendredi 23 septembre 2016
I — L’usage des calculatrices est interdit
Vous attacherez la plus grande importance à la clarté, la précision et la concision de votre rédaction, même si tout résultat qui n’est pas explicitement dans le cours de MPSI ou de MP doit être démontré.
Si vous repérez ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, signalez le sur votre copie et poursuivez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous avez été amené à prendre.
Exercice 1
1. Résoudre dansZ/19Zl’équation x˙3= 1. 2. Résoudre dansZ/15Zl’équation x˙4= 1.
3. Déterminer une fonction Python racineCubique(a,n)dont les arguments sont deux entiers na- turelsaet n, qui renvoie tous les entiersk∈[0, n−1]tels que(kmodn)3=a.
4. Démontrer le théorème d’Euler :
Soitn≥2. Pour toutx∈Z, sixet nsont premiers entre eux, alorsxϕ(n)≡(1modn). 5. Rappeler la définition d’un générateur d’un groupe multiplicatif(G,·).
Quel est le nombre de générateurs du groupe(U2016,×)? (on détaillera les calculs)
Problème 1
Partie 1 : noyaux itérés et images itérées : résultats généraux
SoitE un espace vectoriel de dimension finie etf ∈ L(E). On poseNk= Ker(fk)etIk= Im(fk).
On dit qu’une suite (An)d’ensembles est croissante (resp. décroissante) pour l’inclusion si et seulement si∀n∈N, An⊂An+1 (resp.An+1⊂An).
1. Rappeler l’énoncé du théorème du rang pour une application linéaire en dimension finie.
2. a. Démontrer que la suite (Nk)k∈N est croissante pour l’inclusion puis que la suite (Ik)k∈N est décroissante pour l’inclusion.
b. Justifier l’existence d’un plus petit entier naturelp0tel que Np0 =Np0+1.
c. Ce résultat est-il encore vrai en dimension infinie ? (on pourra répondre après avoir regardé la partie 3...)
d. Soit un telp0. Montrer que ∀k≥0, Np0 =Np0+k.
3. a. Démontrer que les suites(Nk)k∈Net (Ik)k∈Nsont stationnaires à partir du même rangp0. b. Démontrer queNp0⊕Ip0 =E.
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4. Montrer que la restriction def àIp0 est un automorphisme deIp0.
5. Montrer que la restriction def àNp0 est un endomorphisme nilpotent de Np0 et déterminer son ordre.
6. Démontrer que la suite(dim(Nk+1)−dim(Nk))k∈N est décroissante.
7. Montrer que si g est un endomorphisme nilpotent deE, son ordre de nilpotence est inférieur ou égal à dim(E).
Partie 3 : un autre exemple
SoitE=R[X]et P∈E. On définit∆(P) =P(X+ 1)−P(X). 1. Montrer que∆est un endomorphisme deE.
2. Déterminer rigoureusement le noyau de∆, puis pour toutk≥2, le noyau de∆k. L’endomorphisme∆est-il nilpotent ?
3. Soitn∈N∗. Montrer que ∆(Rn[X])⊂Rn−1[X].
On noteδl’endomorphisme de Rn[X]tel que δ(P) =P(X+ 1)−P(X)(δ est la restriction de∆ àRn[X]).
a. Déterminer l’image deδk pour toutk∈N∗. En déduire l’image de∆.
b. Justifier que δest un endomorphisme nilpotent et déterminer son ordre de nilpotence.
4. a. Montrer que pour tout entier naturelp,δp(P) =
p
X
k=0
(−1)p−k Çp
k å
P(X+k).
b. En déduire l’existence de réels(λ1, . . . , λn+1)∈Rn+1tels que pour toutP ∈Rn[X], P(X) =
n+1
X
k=1
λkP(X+k).
Problème 2 : Résultant de deux polynômes
Définition et propriétés
Soientpetqdeux naturels non nuls et soient
P =
p
X
k=0
akXk et Q=
q
X
k=0
bkXk
deux polynômes deC[X]aveca0, ..., ap∈C,ap6= 0,b0, ..., bq ∈C,bq 6= 0.
On définit un nombre complexe appelé le résultant des polynômesP etQet notéRes(P, Q)comme étant égal à la valeur du déterminant àp+q colonnes suivant :
Res(P, Q) =
a0 0 . . . 0 b0 0 . . . 0 a1 a0 ... ... b1 b0 ... ...
a2 a1 a0 ... ... b2 b1 ... 0 ... ... ... 0 ... ... ... b0
ap ... a0 ... ... b1
0 ap a1 bq b2
... ... ap ... a2 0 bq ... ...
... ... ... ... ... ... ... ...
0 . . . 0 ap 0 . . . 0 bq
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Lesqpremières colonnes contiennent les coefficients de P à chaque fois décalés d’un rang vers le bas, et lespsuivantes ceux de Q, les autres positions étant remplies avec des zéros.
Par exemple siP = 1 + 2X+ 3X2 et Q= 4 + 5X+ 6X2+ 7X3
Res(P, Q) =
1 0 0 4 0 2 1 0 5 4 3 2 1 6 5 0 3 2 7 6 0 0 3 0 7
La matrice servant à définirRes(P, Q)pourra être notéeMP,Q:
Res(P, Q) =detMP,Q On noteE=Cq−1[X]×Cp−1[X] etF =Cp+q−1[X].
Pour(A, B)∈E2 on pose
u(A, B) =P A+QB 1. Cas où uest bijective
a. Démontrer que pour(A, B)∈E2 on au(A, B)∈F. On définit ainsi une application
u:
ß E → F
(A, B) 7→ P A+QB b. Démontrer queuest une application linéaire.
c. Si on suppose queuest bijective, démontrer queP et Qsont premiers entre eux.
d. Si on suppose queP etQsont premiers entre eux, déterminerKer(u)et en déduire queuest bijective
Matrice de u On note
B= (1,0),(X,0), ...,(Xq−1,0),(0,1),(0, X), ...,(0, Xp−1) 2. Montrer queB est une base deE.
3. On noteB0 la base canonique deF. Rappeler l’expression deB0 et la dimension deF. 4. a. Donner l’expression deu(Xi,0)pour i∈[0, q−1]puis deu(0, Xj)pourj ∈[0, p−1].
b. En déduire la matrice deuexprimée dans les basesB et B0 deE etF.
c. Démonter queRes(P, Q)6= 0si et seulement siP etQsont premiers entre eux.
d. En déduire que Res(P, Q) = 0 si et seulement siP et Q ont au moins une racine commune complexe.
Application 1 : existence d’une racine multiple
5. a. Démontrer qu’un polynômeP deC[X]admet une racine multiple dansCsi et seulement si on a Res(P, P0) = 0
b. Application : déterminer une condition nécessaire et suffisante sur des complexesa et b pour que le polynômeX3+aX+b admette une racine multiple.
Application 2 : une courbe paramétrée
Soitt∈R. On envisage l’ensembleΓdes pointsM(t)de coordonnées(x(t), y(t))avecx(t) =t2+t ety(t) =t2−t+ 1.
On pose pour(x, y, t)∈R3
Ax(t) =t2+t−xetBy(t) =t2−t+ 1−y.
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6. Établir que si un pointM de coordonnées(x, y)appartient àΓ, alors les fonctions polynomiales Ax etBy ont une racine commune.
7. En déduire qu’un pointM de coordonnées(x, y)appartenant à la courbeΓvérifie x2+y2−2xy−4y+ 3 = 0.
Application 3 : nombre algébrique
8. En utilisant les polynômesP =X2−3 et Qy= (y−X)2−7pour y =√ 3 +√
7, déterminer un polynôme R de degré 4 à coefficients entiers tel quey soit une racine de R (on dit quey est un nombre algébrique).
9. Quelles sont les autres racines du polynômeR?
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