Enoncé A817 (Diophante)
La saga de Méphisto (1er épisode)
Zig vient de recevoir pour son anniversaire une superbe calculette de marque déposée @Méphisto1 dont le clavier comporte trois touches origi- nales qui permettent d’obtenir à partir d’un entier quelconque n stricte- ment positif affiché à l’écran :
1) ϕ(n), fonction d’Euler, le nombre d’entiers qui sont strictement infé- rieurs à l’entier net sont premiers avec lui.
2)σ(n) la somme des diviseurs de l’entiern, y compris 1 et lui-même.
3)τ(n) le nombre des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
Q1 Zig a affiché l’entier 7 à l’écran. Aidez-le à obtenir l’entier 5 en ap- puyant exclusivement sur les trois touches sans utiliser une quelconque autre touche (opérations élémentaires, mise en mémoire, etc..).
Q2 En partant de l’entier 2 et en opérant comme précédemment, aidez Zig à obtenir successivement tous les entiers de 3 à 25 pas nécessairement dans cet ordre.
Q3 Pour les plus courageux : soient deux entiers p et q distincts > 1.
Prouvez que Zig est toujours en mesure de passer de p à q en un nombre fini d’étapes à l’aide des trois touches seulement.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
1. Nota : alias « mesϕστau »
Question 1
Pour alléger l’écriture, je noterai f, s, t les opérateurs réalisant ces trois fonctions ; ainsif7 est à comprendre comme ϕ(7) = 6. La composition de ces opérateurs n’est pas commutative :sf7 =s6 = 12,f s7 =f8 = 4.
Avec cette notation, 5 =tf ssss7 ; les transformées successives de 7 sont 8, 15, 24, 60, 16 et 5. Je l’abrège entf s47.
Question 2
s2 = 3,s22 = 4,s32 = 7 d’oùtf s72 = 5 (cf. question 1),f s32 = 6,s42 = 8, sf s32 = 12, s52 = 15, s62 = 24, f s72 = 16, tf s3f s72 = 9, tf s82 = 10, stf s82 = 18,stf s3f s72 = 13,s2tf s3f s72 = 14,tf s102 = 20,ts6f s72 = 21, tf s4f2s112 = 22,tf2s4f2s112 = 11,
cars72 = 60,s82 = 168,f s82 = 48,sf s72 = 31,s2f s72 = 32,s3f s72 = 63, f s3f s72 = 36, s102 = 1512, f s102 = 432, s4f s72 = 104, s5f s72 = 210, s6f s72 = 576, s112 = 4800, f s112 = 1280,f2s112 = 512, sf2s112 = 1023, s2f2s112 = 1536, s3f2s112 = 4092, s4f2s112 = 10752, f s4f2s112 = 3072, f2s4f2s112 = 1024.
Restent à traiter 17, 19, 23, 25. De même qu’il a fallu une puissance 10 pour obtenir 11, ces entiers impairs s’obtiennent par la fonction τ appliquée à des puissances parfaites ; la fonction ϕ ne fournit que des nombres pairs, et la fonction σ ne fournit des nombres impairs qu’appliquée à des carrés parfaits. J’ai renoncé à pousser plus loin.
Question 3
Tout entierppeut être ramené à 2 par une application répétée def : c’est une fonction multiplicative et un facteurpm devientpm−1(p−1). Chaque application de f réduit le nombre d’un facteur produit des (1−1/p), et fournit un nombre pair à partir de tout nombre>2.
Il suffirait donc de montrer que tout entierq peut être obtenu à partir de 2, comme dans la question 2. Je ne suis pas en capacité de le faire.
