Enoncé A2843 (Diophante)
Une, deux, trois, . . ., 2022 variables
Q1 Trouver les solutions réelles et complexes enx de l’équation quartique x4+ 4x−1 = 0.
Q2 Trouver les solutions enx ety nombres réels x6=y, tels que x−y
1 +xy + y−2021
1 + 2021y + 2021−x 1 + 2021x = 0.
Q3 Trouver les solutions en x, y et z réels tels que x2 −xy −xz = 5, y2−yz−xy =−4 etz2−xz−yz=−7.
Q4 Trouver les solutions positives du système de 2022 équations à 2022 inconnues x1, x2, x3, . . . , x2021, x2022 définies par les relations :
x1+ 1
x2 = 2
2021, x2+ 1
x3 = 4042, x3+ 1
x4 = 2
2021,x4+ 1
x5 = 4042, . . ., x2i−1 + 1
x2i = 2
2021, x2i + 1
x2i+1 = 4042, . . ., x2021 + 1
x2022 = 2 2021, et x2022+ 1
x1
= 4042.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1
L’équation s’écrit (x2+ 1)2 −2x2+ 4x−2 = (x2+ 1)2−2(x−1)2 = 0, soit avec e=±1 :x2+ 1−e(x−1)√
2 = 0.
D’où si e= +1 les deux racines complexesx= 1/√ 2±i
q√
2 + 1/2, et si e=−1 les deux racines réelles x=−1/√
2±q√
2−1/2, Question 2
La réduction au même dénominateur donne (x−y)(y−2021)(2021−x)
(1 +xy)(1 + 2021y)(1 + 2021x) = 0, d’où avec la condition x 6= y les solutions x= 2021,y quelconque6= 2021 d’une part,
et y= 2021,x quelconque6= 2021 d’autre part.
Question 3
Combinant les trois équations données, en vue de traiter symétriquement les trois variables,
5 + 4 + 7 =x2−y2−z2+ 2yz= (x2−(y−z)2 = (z+x−y)(x+y−z) = 16.
De la même façon −4 + 7−5 = (x+y−z)(y+z−x) =−2, et−7−5 + 4 = (y+z−x)(z+x−y) =−8.
Le produit ((y+z−x)(z+x−y)((x+y−z))2 = 16(−2)(−8) = 162, d’où avece=±1,e= (y+z−x)(z+x−y)((x+y−z)
16 =
y+z−x
1 = z+x−y
−8 = x+y−z
−2 = 2x
−8−2 = 2y
−2 + 1 = 2z 1−8.
On en tire (x, y, z) = (−5e,−e/2,−7e/2), soit les deux solutions (5,1/2,7/2) et (−5,−1/2,−7/2).
Question 4
On peut satisfaire ce système avec, dans chaque premier membre, deus termes égaux :x2i−1 = 1/2021 =x2i+1,x2i= 2021.
Peut-il y avoir une autre solution ? Soit la suite auxiliaire définie par yn+1 = 1/yn, ety1 = 2021.
Le système prend la forme xn + 1/xn+1 = 1/yn +yn+1. Cela définit, à partir dex1, une suite infinie qui devrait fournirx2023=x1 pour respecter l’énoncé.
Alors 1−xnyn = (1−xn+1yn+1)/(xn+1yn+1) ; de proche en proche, ou bien les quantités 1−xnyn sont toutes nulles, ou bien aucune n’est nulle.
Dans ce dernier cas, on a 1 1−xnyn
−n= 1 1−xn+1yn+1
−(n+1), expression invariante. Il en résulte, avec y2023 =y1, 1
1−x2023y1
= 1
1−x1y1
+ 2022, incompatible avecx2023 =x1.
La solutionxn= 1/yn est la solution unique.
