Enoncé G152 (Diophante) Qui est le plus obtus des deux ?
Q1 On donne un segment fixe AB de longueur ddans le plan Oxy et on considère la portion (P1) du plan qui contient tous les points C tels que le triangle ABC admetAB comme plus grand côté. On choisit au hasard un point M dans (P1) selon une loi de probabilités uniforme. Quelle est la probabilité que le triangle abm soit obtus ?
Q2 On donne un segment fixeAB de longueurddans l’espace à 3 dimen- sions Oxyz et on considère la portion (P2) de l’espace qui contient tous les points C tels que le triangleABC admetAB comme plus grand côté.
On choisit au hasard un point M dans (P2) selon une loi de probabilités uniforme. Quelle est la probabilité que le triangle ABM soit obtus ? Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Question 1
Je prends la longueurdcomme unité de longueur, ce qui modifie du même coefficient l’aire de (P1) et celle de (Q1), intérieur du cercle de diamètre AB et lieu des points M tels que l’angle AM B est obtus. Il est clair que les anglesABM etBAM sont aigus pour tout pointM de (P1), domaine délimité par les cercles unité centrés enA etB.
Par symétrie par rapport àAB, l’aire de (P1) est deux fois celle du triangle curviligneABD; celle-ci s’obtient avec le secteur circulaireABDde centre A, moins le triangle ABD et plus le secteur circulaireBAD de centre B.
Ces triangles curvilignes ont pour aireπ/6, le triangle ABD√
3/4. L’aire de (P1) est donc 2(π/3−√
3/4) = (4π−3√
3)/6, et la densité de probabilité 6/(4π−3√
3).
L’aire de (Q1) est π/4, d’où la probabilité cherchée 3π
8π−6√
3 = 0,63838256. . .
Question 2
La figure est maintenant de révolution autour de AB. Le domaine (Q2) des pointsN tels que le triangleABN est obtus est la sphère de diamètre AB, de volumeπ/6.
Le plan médiateur de AB divise (P2) en deux parties égales. Pour en évaluer le volume, je coupe la partie contenantB en tranches élémentaires de traceF Gsur le plan de figure. Soital’angle BAF, qui va de 0 à π/3 ; perpendiculaire à AB, cette tranche est un disque de rayon sina, d’aire πsin2a. Si l’angle est a à da près, l’épaisseur de la tranche est sina.da.
Son volume élémentaire estπsin3a.da= (π/3)d(2 + cos3a−3 cosa).
D’où, pour 0< a < π/3, le demi-volume de (P1) = 5π/24, et la densité de probabilité 2,4/π.
La probabilité cherchée est (π/6)(2,4/π) = 0,4.
