Enoncé D1888 (Diophante) Pas une ride, trois quarts de siècle plus tard 1 Un plan

Enoncé D1888 (Diophante)

Pas une ride, trois quarts de siècle plus tard¹

Un plan P glisse² sur lui-même et prend des positions P1, P2, P3. Un point M de P devientM1, M2, M3.

Q₁ Quel est le lieu (E) des pointsM tels que M, M₁, M₂ soient alignés ? Q₂ Quelle est alors l’enveloppe de cette droite ?

Q₃ Quel est le lieu des pointsM tels que le triangleM₁M₂M₃ ait une aire donnée ?

Une droite Dde P devient D1, D2, D3.

Q₄ Quelle est l’enveloppe des droites D telles que le triangle défini par D₁, D₂, D₃ ait une aire constante ?

Q₅ Quelles sont les droites Dtelles que D, D1, D2 soient concourantes ? Q₆ Quel est alors le lieu (F) du point commun à ces 3 droites ?

Q₇ Comparer (E) et (F).

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

J’admets que le déplacement du plan P passant à la positionP₁ n’est pas une translation. Il existe alors dansP un point invariantA, etP1 s’obtient à partir de P par une rotaion autour de A, dont je note l’angle 2a(angle orienté défini à 2π près).

De même quand le plan mobile passe de P1 à P2, le point invariant de cette transformation est B et l’angle de rotation 2b.

Question 1

Les triangles isocèles AM M1 etBM1M2 donnent alors

(M M₁, AM₁) =π/2−a, (M₁B, M₁M₂) =π/2−b, puis (M M₁, M₁M₂) = (AM₁, M₁B) +π−a−b= (M₁A, M₁B)−a−b.

1. Source : d’après un problème du Concours Général 1926.

2. Le mot “glisse” veut dire que l’on passe de P à Pi (i = 1 ou 2 ou 3) par un déplacement, c’est à dire par une rotation ou une translation

AinsiM₁ est sur le cercle (arc capable)γ défini par (M₁A, M₁B) =a+b.

Ce cercle est le transformé du lieu (E) cherché par la rotation (A,2a).

Inversement, (E) est le transformé de γ par la rotation de centre A et d’angle−2a. C’est un cercle passant parA.

Question 2

L’angle (M1B, M1M2) =π/2−b, de mesure constante, intercepte surγ un arc constant BU quand M parcourt (E) et M1 γ. Le point U appartient à tous les alignements M M₁M₂ et constitue l’enveloppe de cette droite variable.

Question 3

Comme précédemment, soit (C,2c) la rotation faisant passer de la position P₂ à la position P₃. Les triangles isocèles BM₁M₂ et CM₂M₃ donnent (M₂M₁, M₂B) =b−π/2, M₂M₁ = 2M₂Bsinb, (M₂C, M₂M₃) =c−π/2, M2M3 = 2M2Csinc, (M2M1, M2M3) = b+c−π + (M2B, M2C). D’où l’aire deM₁M₂M₃ :

S= (1/2)M₂M₁.M₂M₃sin(M₂M₁, M₂M₃) = 2 sinbsincM2B.M2Csin(b+c−π+ (M2B, M2C)).

Soit H la projection de M₂ sur BC; M₂H.BC est 2 fois l’aire du triangle M₂BC, soit M₂B.M₂Csin(M₂B, M₂C). D’autre part M2B.M2Ccos(M2B, M2C) = (1/2)(M2B² +M2C² −BC²) et si I est le milieu deBC, =M₂I²−IB².

−S

2 sinbsincsin(b+c) =

M₂B.M₂Ccos(M₂B, M₂C) +M₂B.M₂Csin(M₂B, M₂C) cot(b+c) = M₂I²−IB²+M₂H.BCcot(b+c).

Soit IJ un vecteur parallèle à M2H et de mesure BC/2) cot(b+c), en sorte queM₂H.BCcot(b+c) = 2IJ.M₂H = deux fois le produit scalaire deIJ parM₂H, ou équivalemment parM₂I. On a alors

−S

2 sinbsincsin(b+c) =

M2I(M2I + 2IJ)−IB² =M2J²−IJ²−IB²=M2J²−J B².

Le lieu de M₂ rendant S constant est donc un cercle de centre J. On re- marque que la définition de J ne dépend pas de S; dans le cas S = 0, c’est le centre de l’arc capable (cf. l’analyse faite à la question 1) d’équa- tion (M₂B, M₂C) = b + c. De fait, l’aire est le produit du facteur

−2 sinbsincsin(b+c) par la puissance de M2 par rapport à ce cercle.

A S donné, le lieu de M est le cercle transformé du cercle lieu deM₂ par la rotation (B,−2b) suivie de la rotation (A,−2a).

Question 4

La constance des angles (D₁, D₂) = 2b, (D₂, D₃) = 2c (formés par les droites orientées) fait que les triangles formés par ces trois droites sont semblables entre eux. Les triangles de même aire sont isométriques et ont les mêmes rayons des cercles inscrit et exinscrits dans les angles homo- logues.

Soit XY Z un de ces triangles, avec X = D2∩D3, Y = D3∩D1, Z = D₁∩D₂, ;B est équidistant de D₁ et D₂, et appartient à une bissectrice de l’angleZ du triangle ; d’où (BZ, D₂) =b+π/2 (modπ). De mêmeC est équidistant de D2 etD3, et appartient à une bissectrice de l’angle X du triangle ; d’où (D₂, XC) =c+π/2 (modπ).

Les droites BZ etXC se coupent en K, centre d’un des cercles inscrit et exinscrits ; le rayon de ce cercle a une valeur bien déterminée r quand le triangle a l’aire spécifiée. Le point K appartient à l’arc capable γ₁ défini par (BK, KC) =b+c (modπ).

Pour construire un triangle d’aire spécifiée, je choisisK surγ1, puisZ sur BK à distance KZ = r/cosb, puis D₁ par Z avec (BZ, D₁) = π/2−b (mod π). Il faudrait ici examiner de quel cercle (inscrit ou exinscrit du triangleXY Z)K est le centre, mais ce n’est pas nécessaire pour répondre à la question de l’enveloppe à aire constante.

DéplacerD₁ àK fixé fait varier la longueur KZ, d’où la taille du triangle et donc l’aire. Faisons donc varier K sur γ1 à longueur KZ constante.

Soit W le centre instantané de rotation du plan lié àKZ; la droite KZ passant continûment parB,BW est perpendiculaire àBK;K parcourant γ1, W K passe par le centre de γ1; ainsi W est diamétralement opposé à

K sur γ₁.D₁ touche son enveloppe au point projection de W surD₁. La parallèle à D1 menée par K recoupe γ1 en V1 qui est un point fixe car (KB, KV₁) =π/2−b (mod π) est un angle constant.V₁ commeK est à distancer deD₁, qui a donc pour enveloppe le cercle (V₁, r). De même, la parallèle àD2 menée parK recoupe γ1 au point fixe V2, centre du cercle (V₂, r) qui est l’enveloppe deD₂. Ce cercle deP₂ devient dansP₃ un cercle (V₃, r) enveloppe deD₃.

La rotation (A,−2a) transforme V1 en le point V, centre d’un cercle de rayonr; ce cercle du plan P devient dansP₁ le cercle enveloppe de D₁; ainsi les droitesD telles que le triangle défini parD₁, D₂, D₃ ait une aire donnée sont tangentes au cercle (V, r).

Question 5

Le cas “aire nulle” de la question 4 fait coïncider Z, X, Y avec K quand D1, D2, D3 sont concourantes. D1 passe alors par le point V1 défini par (BV₁, V₁C) =b+c, (CB, CV₁) =π/2−b.

Ce raisonnement se transpose à D, D₁, D₂; D doit passer par le point Q défini par (AQ, QB) =a+b, (BA, BQ) =π/2−a.

Question 6

Transposant à D, D₁, D₂ l’analyse faite pour D₁, D₂, D₃ concourantes, le point de concours S (homologue de K) appartient à l’arc capable (AS, SB) = a+b (mod π) dénommé γ à la question 1, qui est le lieu (F) cherché.

Question 7

Comme vu à la question 1, le cercle (E) du plan P vient coïncider avec (F) quandP passe à la positionP₁.