G152. Qui est le plus obtus des deux ? ***
Q1 - On donne un segment fixeAB de longueurddans le planOx y et on considère la portion (P1) du plan qui contient tous les pointsCtels que le triangleABCadmetABcomme plus grand côté. On choisit au hasard un pointMdans (P1) selon une loi de probabilités uniforme.
Quelle est la probabilité que le triangleAB Msoit obtus ?
Q2 - On donne un segment fixeABde longueurd dans l’espace à 3 dimensionsOx y zet on considère la portion (P2) de l’espace qui contient tous les pointsC tels que le triangleABCadmetABcomme plus grand côté. On choisit au hasard un pointMdans (P2) selon une loi de probabilités uniforme.
Quelle est la probabilité que le triangleAB Msoit obtus ?
Solution de Claude Felloneau
Q1 -La probabilité cherchée est 0,64 à 10−2près.
A
B
D O C
D
Compte tenu des symétries, l’aire de (P1) est 4 fois celle du do- maine∆limité par l’arc de cercle AC et les segments [O A] et [OC] obtenu en supprimant le triangleOBCdans le secteur de disqueB ACde centreB. On a donc
A(∆)=1 2×π
3d2−1 2×d
2×dp 3 2 d’où
A(P1)= Ã2π
3 − p3
2
! d2
Le triangleAB M, avecM∈(P1), est obtus si et seulement siM appartient au disqueDde diamètre [AB] dont l’aire est
A(D)=π µd
2
¶2
=1 4πd2 La probabilité cherchée est donc
p1= A(D)
A(P1)= π/4 2π/3−p
3/2= 3π 8π−6p
3≈0, 64 Q2 -La probabilité cherchée est 0,4 à 10−2près.
A
B
O C
D
(P2) est le domaine engendré par la rotation des arcs de cercles C AetC Bautour de la droite (AB).
Dans un repère orthonormé du plan convenablement choisi, l’arcACa pour équationx=
s d2−
µ y+d
2
¶2
.
Compte tenu des symétries, le volume de (P2) est donc V(P2)=2πZ d/2
0
d2− µ
y+d 2
¶2
dy d’où
V(P2)=2π
·
d2y−1 3 µ
y+d 2
¶3¸y=d/2 y=0
=2π µd3
2 −d3 3 +d3
24
¶
=5πd3 12
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Le triangleAB M, avecM∈(P2), est obtus si et seulement siMappartient à la bouleBde diamètre [AB]
dont le volume est
V(B)=4 3π
µd 2
¶3
=πd3 6 La probabilité cherchée est donc
p2=V(B)
V(P2)= π/6 5π/12=2
5=0, 4
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