Solution de Claude Felloneau

D175. Un point de rencontre bien connu

Démontrer qu'il est toujours possible de tracer au moins une ligne droite (L) qui partage un triangle scalène ABC en deux polygones de même périmètre et de même aire. Le cercle inscrit du triangle touche BC en P. On trace la droite (L') qui passe par les milieux de AP et de BC. Déterminer le point de rencontre des deux droites (L) et (L').

Solution de Claude Felloneau

On pose BC = a, CA = b et AB = c

Admettons pour l’instant l’existence d’une droite (L) vérifiant la condition.

(L’) et (L) se coupent au centre I du cercle circonscrit au triangle ABC.

• En permutant au besoin les points A, B et C, on peut supposer que (L) coupe le segment [AB] en un point M et le segment [AC] en un point N.

Les polygones BMNC et AMN ont le même périmètre, donc AM+AN=BC+BM+CN.

On en déduit : ^{2 AM}

(

^+AN

)

^{=AB+BC+CA= + +a b c et}

( )

2 BM+CN = − + +a b c.

La bissectrice intérieure de l’angle A coupe (L) en un point J.

B

C A

M

N

J

d h

On pose : ( , (d J AB))=d J AC( ,( ))=d et ( ,(d J BC))=h

On a :

(

^AMN

)

^{(AJN) (AJM) 1(AN AM) 1( )}

2 4

aire =aire +aire = + d = a+ +b c d et

(

^BMNC

)

^{(BCJ) (BJM) (CJN) 1}₂ ¹₂^{(BM CN) 1}₂ ¹₄^{( )}

aire =aire +aire +aire = ha+ + d= ha+ − + +a b c d, donc 2ha+ − + +( a b c d) = + +(a b c d) ; d’où h=d et J = I, puisque J est à égale distance des 3 côtés de ce triangle. Ainsi I appartient (L).

• On note P, Q, R les points de contact du cercle inscrit dans le triangle ABC avec les côtés [BC], [CA] et [AB]

respectivement, et on pose AQ = AR = x, BR = BP = y, CP = CQ = z.

On a a= +y z, b= +z x et c= +x y, donc

A B C A B C B C

I bary bary

y z z x x y y z x x z y

   

=  =  

+ + + +

   

Or B C

A bary x x

 

= ′

 

  , milieu de [BC] et B C P bary z y

 

=

 

 

B

C A

I P

Q R K A'

puisque BP = y, CP = z et P [BC]∈ donc

A A P A K

I bary 2 bary 2 2( )

y z x y z x y z

′ ′

   

=  =  

+ + +

    où K est le milieu de [AP].

La droite (L’) passe donc par I et elle coupe donc (L) en I.

Démontrons l’existence d’au moins une droite (L) partageant le triangle ABC en deux polygones de même aire et de même périmètre.

En permutant au besoin les sommets A, B, C, on peut supposer que b≤ ≤a c.

Soit ₁ A B

C bary a b

 

=  

  le point d’intersection de (CI) avec [AB] ; on a AC₁ b AB

a b

= +

.

La parallèle à (AC) passant par I coupe (AB) au point

1 2

A B A C

C bary bary

a c b c a b

   

=  =  

+ +

    qui n’appartient pas à

[BC1].

B

C A

I M

N

C1

B1

Pour tout réel t de l’intervalle b ,1 a b

 

 + 

 , on note Mt le point de [AB] défini par AM=tAB . La droite(IMt) est sécante au segment [AC] en un point Nt, car Mt appartient à [BC1].

On pose f t^{( )}=^{2 AM}

(

t +^ANt

)

. On obtient facilement AN_t =g t( )AC

où g est une fonction rationnelle définie sur b ,1 a b

 

 + 

 , donc :

( )

( ) 2 ( )

f t = tc+ g t b et f est donc continue sur l’intervalle b ,1 a b

 

 + 

 .

(

¹

)

²

2 AC AC 2 ( )

b bc b

f b a b c a b c

a b a b a b

   

= + = + = + + ≤ + +

   

+ + +

    car a ≥ b.

De même, f

( ) (

1 =2 AB+AB1

)

où B1 est le point d’intersection de (BI) avec [AC].

( ) (

^{1 2 AB AB1}

)

^{2 bc 2c ( )}

f c a b c a b c

a c a c

 

= + =  + = + + ≥ + +

+ +

  car .c ≥ a.

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel to de l’intervalle b ,1 a b

 

 + 

  tel que

( )

0

f t = + +a b c.

La droite(L) passant par I et

M=M_t0coupe [AC] en

N=N_t0 et on a : ^{2 AM}

(

^+AN

)

^{= + +a b c.}

On en déduit que AM+AN=BC+AC−AN+AB−AM=BC+CN+BM. Donc (L) partage le triangle ABC en deux polygones de même périmètre.

De plus,

(

^AMN

)

^{(AIN) (AIM) 1(AN AM) 1( )}

2 4

aire =aire +aire = + r= a+ +b c r où r est le rayon du cercle inscrit dans le triangle ABC. Donc :

(

^AMN

)

^{1 1 1 1 1}

(

^{(BIC) (CIA) (AIB)}

)

^{1 (ABC)}

2 2 2 2 2 2

aire  ar br cr aire aire aire aire

=  + + = + + =

  .

Ainsi, les deux polygones ont aussi la même aire.