Enonc´e noD173 (Diophante) Possible ou pas possible ?
Les trois nombres entiers 2,3 et 5 se trouvent mˆel´es `a des querelles
“arithm´etico-g´eom´etriques” entre Zig et Puce. L’un r´epond toujours “Pos- sible” aux quatre configurations suivantes d’un triangle ABC et l’autre affirme “Pas possible”. Quel est votre avis ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1
La bissectrice int´erieure de l’angle enAd’un triangleABC coupe le cercle circonscrit en D. On aAB = 2 cm,AD= 3 cm et AC= 5 cm.
R´eponse : Pas possible.
Les arcs BD et DC du cercle circonscrit sont ´egaux, ´etant vus du point A du cercle sous le mˆeme angle A/2. Les cordesBD etDC sont ´egales, et par la relation d’Al-Kashi
2·ADcosA
2 = AB2+AD2−BD2
AB = AD2+AC2−DC2 AC
d’o`u
BD2=DC2= (AB2+AD2)AC−(AC2+AD2)AB)
AC−AB =−1,
mais BD2 =−1 est impossible.
Question 2
A partir d’un point P int´erieur `a un triangle ABC, on trace AP,BP et CP qui coupent respectivement BC, CA et AB en E,F et G. Les aires des trianglesP AF,P CF etP CEsont respectivement de 5 cm2, de 2 cm2 et de 3 cm2.
R´eponse : Pas possible.
La droiteCP partage le triangleCAE en deux parties d’aires 3 et 7 cm2, donc (en valeur alg´ebrique surAE) P A/P E=−7/3.
La droiteP F partage le triangleP AC en deux parties d’aires 5 et 2 cm2, donc (en valeur alg´ebrique surAC) F A/F C=−5/2.
Consid´erons le triangleACE coup´e par la s´ecante BP F. Par le th´eor`eme de M´en´ela¨us
P E P A· F A
F C · BC BE = 1 =
−3 7 −5
2 BC
BE = BC BE ·15
14
donc BE/BC = 15/14 en valeur alg´ebrique sur EC ou BC, et E est ext´erieur au segment BC en contradiction avec l’´enonc´e qui implique (P
´etant int´erieur au triangle ABC) queE soit int´erieur au segment BC.
Question 3
Le segment OH qui relie le centre du cercle circonscrit O `a l’orthocentre H d’un triangle ABC est parall`ele au cˆot´e BC. Par ailleursOH = 3 cm etBC= 5 cm.
R´eponse : Pas possible.
Soit m le milieu de BC et a le pied de la hauteur abaiss´ee de A sur BC. Le segment ma est la projection sur BC du segment OH, et par le parall´elisme|ma|= 3>2,5 =BC/2 =Bm=mC.
Ainsia est ext´erieur au segmentBC. L’un des angles B ou C est obtus ; alors la droite BC s´epare A etH, alors qu’elle ne s´epare pas O etA. Le parall´elisme deBC etOH est impossible.
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Question 4
Le sommet A d’un triangle ABC et le centre I du cercle inscrit sont sur l’axe des ordonn´ees respectivement `a 5 cm et 2 cm de l’origine O tandis que le centre de gravit´eG est sur l’axe des abscisses `a 3 cm de O.
R´eponse : Possible.
L’´enonc´e n’´etant pas explicite, j’examinerai les deux cas : I entreA etO, O entreA etI.
Premier cas.
Les cordonn´ees sont G(3,0), A(0,5), I(0,2).
Soit M le milieu de BC, G est aux deux tiers du segment AM, d’o`u les coordonn´ees M(9/2,−5/2),B(9/2−u,−5/2 +v),C(9/2 +u,−5/2−v).
AI ´etant la bissectrice de l’angleBAC, en posant t= tan(A/2) = tan(AB, AI) = tan(AI, AC), on a
t= u−9/2
15/2−v = 9/2 +u 15/2 +v = 2u
15 = 9 2v donc u= 15t/2,v= 9/(2t).
La tangente men´ee de A au cercle inscrit a pour longueur AIcos(A/2) = (AB+AC−BC)/2.
Comme 15/2−v=ABcos(A/2), 15/2 +v=ACcos(A/2, etAI = 3, on a BC = 15/cos(A/2)−6 cos(A/2).
BC2= 4u2+ 4v2= 225/cos2(A/2) + 36 cos2(A/2)−180.
En fonction de t
225t2+ 81/t2 = 225 + 225t2+ 36/(1 +t2)−180.
81(1 +t2) = 45t2(1 +t2) + 36t2 se r´eduit `a t4= 81/45 = 1,8.
On en tireu= 7,5√4
1,8,v= 4,5√4
1,8, ce qui d´efinit le triangleABCdont il s’agit.
Second cas.
Les calculs sont les mˆemes que dans le premier cas, sauf queAI = 7 carI a pour coordonn´ees (0,−2).
L’´equation en t est 195t4 + 80t2+ 81 = 0, trinˆome en t2 qui n’a pas de racine r´eelle. Ce second cas est exclu.
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