Q₁ On donne un segment fixe AB de longueur d dans le plan Oxy et on considère la portion (P1) du plan qui contient tous les points C tels que le triangle ABC admet AB comme plus grand côté. On choisit au hasard un point M dans (P1 ) selon une loi de probabilités uniforme. Quelle est la probabilité que le triangle ABM soit obtus?
Q₂ On donne un segment fixe AB de longueur d dans l'espace à 3 dimensions Oxyz et on considère la portion (P2) de l'espace qui contient tous les points C tels que le triangle ABC admet AB comme plus grand côté. On choisit au hasard un point M dans (P2) selon une loi de probabilités uniforme.
Quelle est la probabilité que le triangle ABM soit obtus?
Prenons comme unité la moitié de la longueur d.
Q1 : (P1) est donc l’intersection des disques de rayon d et de centres A et B, donc la réunion des deux segments de disque vus sous l’angle 2π/3 soit une surface 8π/3-2√3.
Les points M tels que AMB soit obtus sont intérieurs au disque de diamètre AB de surface π. La probabilité d’obtenir un triangle obtus est donc 8/3-2√3/π=0,639...
Q2 : (P2) est l’intersection des boules de rayon d de centres A et B, donc la réunion des deux calottes sphériques vues sous l’angle 2π/3 soit un volume de 10π/3.
Les points M tels que le triangle ABM soit obtus sont intérieurs à la boule de diamètre AB de volume 4π/3 : la probabilité pour que AMB soit obtus est donc 2/5=0,4.
