E683 – La copie semblable [**** à la main]
Un triangle ABC est déjà tracé au tableau à la craie blanche. Zig et Puce jouent au jeu suivant : l’un après l’autre, Zig désigne un point sur le tableau puis Puce le marque à la craie rouge ou à la craie bleue. Zig est gagnant si,avec un nombre maximum de six points coloriés en rouge ou en bleu, il existe un triangle qui est semblable à ABC et dont les sommets sont de la même couleur. Sinon Puce est vainqueur.
Selon la forme du triangle ABC, qui a une stratégie une gagnante ? Justifiez votre réponse.
Solution proposée par Bernard Vignes
Réponse : Zig a toujours une stratégie gagnante, quelle que soit la forme du triangle ABC.
Nous considérons quatre cas :
1- Le triangle ABC est scalène.
Zig désigne successivement trois points P,Q et R de sorte que le triangle PQR est semblable au triangle ABC. Sans perte de généralité (spg), Puce colorie P et Q en rouge et R en bleu. Zig choisit alors deux points S et T du même côté que R par rapport à PQ de sorte que les triangles (avec leurs sommets pris dans cet ordre) PQR,QSP et TPQ sont semblables entre eux. Puce est obligé de colorier en bleu les points S et T sinon l’un des deux triangles aurait ses trois sommets de la même couleur rouge.
On démontre que les triangles TSR et TPQ sont semblables. En effet, en raison de la similitude des triangles PQR et QSP,on a les relations d’angles suivantes :SPT =
SPQ –TPQ et RQT = PQT –PQR avec SPQ = PQT et PQR =
TPQ. D'où SPT = RQT.On a de la même manière SP/QR = PQ/RP = TP/QT.
Les triangles SPT et RQT sont alors semblables et dans les triangles TSR et TPQ, les angles en T sont égaux et ST/RT = PT/QT. Cqfd.
Conclusion : Zig est le vainqueur
2- Le triangle ABC est isocèle de sommet A et de base BC sans être équilatéral.
Zig trace deux points P et Q quelconques. Deux cas de figure :
2-1 Puce colorie ces deux points de la même couleur,en rouge par exemple,spg.
Zig trace un point R de sorte que le triangle RPQ de sommet R et de base PQ est semblable au triangle ABC de sommet A et de base BC.
Puce colorie nécessairement ce troisième point en bleu.Zig trace sur le segment PR le point S tel que le triangle QPS isocèle de sommet Q est semblable aux triangles RPQ et ABC. Les points P et Q étant de couleur rouge, Puce colorie le point S en bleu. Zig trace ensuite sur le segment QR le point T tel que le triangle PQT isocèle de sommet P est semblable au triangle ABC.Si Puce colorie ce point en bleu, alors les trois points R,S et T sont de la même couleur et le triangle RST est homothétique au triangle RPQ. S’il le colorie en rouge,alors les trois sommets du triangle isocèle PQT semblable au triangle PQR sont de la même couleur rouge.
Conclusion : Zig est le vainqueur.
2-2 Puce colorie ces deux points avec des couleurs distinctes, par exemple,spg,P en rouge et Q en bleu.Zig trace alors un point R de sorte que le triangle RPQ semblable au triangle ABC est isocèle de sommet R et de base PQ.
Spg, Puce colorie ce point en rouge.Zig trace alors le point S du même côté que Q par rapport à RP tel que SPR est isocèle de sommet S. Puce est obligé de colorier ce point en bleu, sinon le triangle SPR aurait ses trois sommets de la même couleur rouge. Zig trace un cinquième point T sur le côté RS tel que PRT est isocèle de sommet P. Si Puce colorie ce point en rouge, alors le triangle isocèle PRT semblable au triangle ABC a ses trois sommets de la même couleur rouge. Si ce point T est colorié en bleu,alors le triangle SQT semblable à SPR donc à ABC a ses trois sommets en bleu.
Conclusion : Zig est encore le vainqueur 3- Le triangle ABC est équilatéral.
Zig trace trois points P,Q et R qui forment un triangle équilatéral. Les triangles ABC et PQR sont évidemment semblables.
Spg, Puce colorie P et Q en rouge et R en bleu.Zig trace alors le point S symétrique de P rapport à QR. Deux cas de figure :
3-1 Puce colorie le point S en rouge.
Zig trace alors le point T symétrique de R par rapport à PQ. Puce est obligé de le colorier en bleu sinon PQT serait monocolore.Dès lors Zig trace le point U symétrique de R par rapport à QS. Les triangles RTU et QSU sont équilatéraux et quelle que soit la couleur du point U, l’un des deux triangles est nécessairement monocolore.
Conclusion : Zig est toujours le vainqueur.
3-2 Puce colorie le point S en bleu.Zig trace alors le point T symétrique de Q par rapport à PR. Deux cas sont à considérer :
3-2-1 : Puce colorie le point T en rouge.
Zig trace le point U symétrique de Q par rapport à RS. Les deux triangles QTU et RSU sont équilatéraux et quelle que soit la couleur du point U, l’un des deux triangles est nécessairement monocolore.
3-2-2 : Puce colorie le point T en bleu.
Zig trace le point U symétrique de R par rapport à PQ. Les deux triangles STU et PQU sont équilatéraux et quelle que soit la couleur du point U, l’un des deux triangles est nécessairement monocolore.
Conclusion : Zig est encore le vainqueur.
4- Le triangle ABC est rectangle
Ce cas peut être traité de la même manière que le triangle scalène. Zig désigne successivement deux points P et Q. Si Puce les colorie en rouge, Zig trace un point R tel que le triangle PQR est rectangle en Q tout en étant semblable au triangle ABC.Le point R est alors colorié en bleu. Si Puce colorie les deux points P et Q en rouge et en bleu, Zig trace le point R tel que le triangle PQR est rectangle en R.Quelle que soit la coloriage choisi par Puce pour ce point, les extrémités d’un côté de l’angle droit sont monocolores. Après avoir tracé trois points, Zig peut donc toujours se ramener à la figure ci-après dans laquelle les extrémités d’un côté de l’angle droit sont de la même couleur. Spg, soient donc P et Q coloriés en rouge.
Zig choisit alors deux points S et T du même côté que R par rapport à PQ de sorte que les triangles rectangles (avec leurs sommets pris dans cet ordre) PQR,QSP et TPQ sont semblables entre eux. Puce est obligé de colorier en bleu les points S et T sinon l’un des deux triangles aurait ses trois sommets de la même couleur rouge.On note au passage que le point T se construit simplement à l’intersection des cercles de diamètre PQ et RS ou encore c’est le symétrique du point d’intersection U des droites PR et QS par rapport à la médiatrice de PQ.
Les triangles PTR et QTS dont les angles pris 2 à 2 sont égaux, sont semblables. Il en résulte que le triangle rectangle RST - dont les extrémités sont monocolores - est semblable au triangle PQT.
Conclusion : Zig est définitivement le vainqueur.
