G152. Qui est le plus obtus des deux? ***
Q1 On donne un segment fixe AB de longueur d dans le plan Oxy et on considère la portion (P1) du plan qui contient tous les points C tels que le triangle ABC admet AB comme plus grand côté. On choisit au hasard un point M dans (P1) selon une loi de probabilités uniforme. Quelle est la probabilité que le triangle ABM soit obtus?
Q2 On donne un segment fixe AB de longueur d dans l'espace à 3 dimensions Oxyz et on considère la portion (P2) de l'espace qui contient tous les points C tels que le triangle ABC admet AB comme plus grand côté. On choisit au hasard un point M dans (P2) selon une loi de probabilités uniforme. Quelle est la probabilité que le triangle ABM soit obtus?
Q1 :
En vert, un triangle obtus.
En jaune, un triangle aigu.
Pour des raisons de symétrie,il suffit de retreindre les calculs aux parties grisées.
On cherche à évaluer Aire ( gris foncé) Aire ( gris foncé+ gris clair )
Pour un segment AB de longueur 2 on trouve : Aire ( gris foncé)= π
4 Aire ( gris foncé+ gris clair )= 4 π 6 – √ 3
2
La probabilité cherchée vaut
π 4 4 π
6 – √ 3 2
= 63,9% (environ)
Q2 : Il s'agit de calculer le rapport des volumes de révolution engendrés par les parties grises ci-dessus.
En plaçant le segment AB (de longueur 2) sur l'axe
xde sorte que son milieu coïncide avec l'origine, nous obtenons les courbes ( x+1)
2+ y
2=2
2et
x2+y2=1La probabilité cherchée vaut :
π ∫
0 1
(1 - x
2) dx
π ∫
0 1
