E561. La couverture harmonique ** Sur un segment OA de longueur 100 cm, on trace tous les points i = 1, 2, 3.... d’abscisses xi

E561. La couverture harmonique **

Sur un segment OA de longueur 100 cm, on trace tous les points i = 1, 2, 3.... d’abscisses x_i = 100 / i.

Le premier point est donc en A, le suivant est au milieu de OA, etc...

On dispose d’un ruban adhésif de longueur 25 cm que l’on découpe en morceaux de même longueur.

Déterminer le nombre minimum de morceaux qui permettent de cacher tous les points qui ont été tracés.

Nota : un point est considéré comme caché s’il est recouvert par un morceau de ruban ou s’il se trouve sur son bord.

Solution proposée par Michel Lafond : Il faut 3 morceaux ou 12 morceaux selon le sens de la coupe ! Notons Pi le point d’abscisse 100 / i .

 Mon premier réflexe a été de partager le ruban ainsi :

Il y a bien 3 morceaux de mêmes longueurs et on peut tout recouvrir :

Un morceau recouvre P1 seul, un morceau recouvre P2 et P3 et le troisième morceau recouvre OP4 donc tout le reste.

 Si maintenant on impose aux coupes d’être dans l’autre sens, alors 12 morceaux suffisent : La longueur d’un morceau est m = 25/12 = 2,08333 …

6 morceaux recouvrent P1, P2, P3, P4, P5, P6

Un morceau recouvre P7 et P8 puisque 100/7 – 100/8 = 1,78… < m Un morceau recouvre P9 P10 et P11 puisque 100/9 – 100/11 = 2,02… < m Un morceau recouvre P12 --- P16 puisque 100/12 – 100/16 = m

Il reste à recouvrir les points du segment OP17 de longueur 100/17 = 5,882…< 3 m donc 3 morceaux suffisent.

6 + 1 + 1 + 1 + 3 = 12.

11 morceaux ne suffisent pas car : Ici m = 25/11 = 2,272…

Il faut nécessairement 6 morceaux pour recouvrir P1, P2, P3, P4, P5, P6 car 100/6 – 100/7 = 2,38… > m.

Le 7^ème morceau recouvre au mieux P7 et P8 car 100/7 – 100/8 = 1,78… < m et 100/7 – 100/9 = 3,17… > m.

Le 8^ème morceau recouvre au mieux P9 --- P11 car 100/9 – 100/11 = 2,02… < m et 100/9 – 100/12 = 2,77… > m.

Le 9^ème morceau recouvre au mieux P12 --- P16 car 100/12 – 100/16 = 2,08… < m et 100/12 – 100/17 = 2,45… > m.

Le 10^ème morceau recouvre au mieux P17 --- P27 car 100/17 – 100/27 = 2,17… < m et 100/17 – 100/28 = 2,31… > m.

Mais il ne reste qu’un morceau et OP28 = 3,57… > m.

On vérifie de même que 10 morceaux ou moins ne suffisent pas. 12 est bien le minimum.

25 cm