E 561 la couverture harmonique
Sur un segment OA de longueur 100 cm, on trace tous les points i = 1,2,3.... d’abscisse xi = 100 / i.
Le premier point est donc en A, le suivant est au milieu de OA,etc...
On dispose d’un ruban adhésif de longueur 25 cm que l’on découpe en morceaux de même longueur . Déterminer le nombre minimum de morceaux qui permettent de cacher tous les points qui ont été tracés.
Nota : un point est considéré comme caché s’il est recouvert par un morceau de ruban ou s’il se trouve sur son bord.
Si le ruban est découpé en n morceaux, deux points indexés par les entiers i et j ( avec i≤j )peuvent être cachés par le même morceau de ruban si 100.(1/i – 1/j ) ≤ 25/n .
Pour n et j donnés, il existe i tel que le morceau de ruban cache tous les points d'abscisses 100/k avec i≤k≤j, mais pas celui d'abscisse 100/(i-1).
Ce nombre i est l'entier arrondi supérieur de 4nj/(4n+j).
Avec n=11, le tableau suivant montre qu'il faudrait 12 morceaux de ruban de longueur 25/11 cm pour cacher tous les points tracés.
j 100 30 17 12 9 7 6 5 4 3 2 1
i 31 18 13 10 8 7 6 5 4 3 2 1
Avec 11 morceaux on peut cacher tous les points sauf le point A.
Au contraire 12 morceaux de ruban de longueur 25/12 cm permettent de cacher tous les points tracés, comme le montre le tableau suivant :
j 100 32 19 13 10 8 6 5 4 3 2 1
i 33 20 14 11 9 7 6 5 4 3 2 1
La réponse est donc n = 12.
