E561. La couverture harmonique
Sur un segment OA de longueur 100 cm, on trace tous les points i = 1, 2, 3... d’abscisse xi = 100 / i. Le premier point est donc en A, le suivant est au milieu de OA, etc...
On dispose d’un ruban adhésif de longueur 25 cm que l’on découpe en morceaux de même longueur. Déterminer le nombre minimum de morceaux qui permettent de cacher tous les points qui ont été tracés.
Nota : un point est considéré comme caché s’il est recouvert par un morceau de ruban ou s’il se trouve sur son bord.
Solution proposée par Paul Voyer
Par essais successifs, on trouve qu'il faut au minimum 12 morceaux de 2.083 cm chacun.
1 de 1.00 cm à 3.04 cm i = 33-100 2 de 3.12 cm à 5.00 cm i = 20-32 3 de 5.26 cm à 7.15 cm i = 14-19 4 de 7.69 cm à 9.10 cm i = 11-13 5 de 10.00 cm à 11.12 cm i = 9-10 6 de 12.5 cm à 14.29 cm i = 7-8 et 6 morceaux individuels pour les points i = 1-6.
![x =(3 , 2 , 1 , 4) 3 i +1 i x ≤ x i ∈{ 1 ,...,n } 1 n i +1 i x =( x ,...,x ) min { i ∈{ 1 ,...n − 1 }| x >x } x =(3 , 2 , 1 , 4) 1 1 n i +1 i x =( x ,...,x ) card { i ∈{ 1 ,...n − 1 }| x >x } x cos ( x )= x [ − 10 , 10] 2 x ∈ [ − 10 , 10] y = x f ( x )= x](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)