Enoncé D1880 (Diophante)
Directions à respecter (1ère partie)
On donne le triangle ABC et deux droites orthogonales ∆1,∆2 qui se coupent en un pointO fixe.
Q1 Déterminer les points A0 sur BC, B0 sur CA, et C0 sur AB, tels que les bissectrices des droites BC et AA0, CA et BB0, AB et CC0 soient parallèles aux directions ∆1,∆2.
Q2Montrer que les droitesAA0,BB0etCC0sont concourantes en un point P, dont on précisera le lieu quand les droites ∆1 et ∆2 pivotent autour du point O.
Q3 SoientA00=B0C0∩BC,B00=C0A0∩CAetC00=A0B0∩AB. Montrer que A00,B00 etC00 sont alignés sur une droite ∆.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1
Traçant de A les parallèles AA1 à ∆1 et Aα à BC, la droite AA0 est symétrique deAαpar rapport àAA1. Cela suffit à garantir que la parallèle à ∆1 menée par A0 est bissectrice de l’un des angles formés par A0A et BC, les angles enA0 corespondant par translation à ceux en A.
Construction analogue pour B0 etC0. Question 2
Soit P = AA0 ∩BB0. Les égalités angulaires (angles orientés de droites non orientées, définis à kπ près),
(BC,∆1) = (∆1, AP) et (CA,∆1) = (∆1, BP) entraînent (BC, BP) = (CA, AP) : les pointsA, B, C, P sont cocycliques,P appartenant au cercle circonscrit au triangle.
Le même raisonnement, appliqué au point CC0 ∩BB0, montre que les deux droites se coupent en P où BB0 recoupe le cercle circonscrit. Les trois droites sont donc concourantes.
Tout point P du cercle correspond à deux positions des droites ∆1,∆2; aux pointsA0 =P A∩BC,B0 =P B∩CA,C0=P C∩AB, les bissectrices des deux droites sont parallèles entre elles et peuvent correspondre à deux positions du repère ∆1,∆2 différant d’un angle droit.
Question 3
Je travaille en coordonnées barycentriques de baseA, B, C. Les coordon- néesP(p, q, r) entraînentA0(0, q, r), B0(p,0, r), et C0(p, q,0).
B0C0 admet pour équation
x y z p 0 r p q 0
= 0,
d’où six= 0 (intersection avecBC) yr+zq= 0.
AinsiA00 appartient à la droite d’équation x/p+y/q+z/r= 0.
On obtiendrait de même pourB00,y= 0 etzp+xr= 0 ; et pourC00,z= 0 etxq+yp= 0, tous deux sur cette même droite ∆ qui varie avec P. P appartenant au cercle circonscrit, les coordonnéesp, q, r vérifient a2/p+b2/q+c2/r= 0 (a, b, c étant les côtés du triangle).
Ainsi ∆ passe constamment parL(a2, b2, c2), point de Lemoine du triangle.
