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D1882. Directions ` a respecter (2` eme partie)

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Academic year: 2022

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D1882. Directions ` a respecter (2` eme partie)

Lieux de α, β,γ

Avec des directions ∆12 fixes, on consid`ere un pointX variable sur∆. Les droites AX, BX et CX coupent respectivement B0C0 enL,C0A0 enM et A0B0 enN. Le triangleLM N est circonscrit `a ABC (d´emonstration en an- nexe).

DEF est un cas particulier deLM N. Par cons´equent, K point de concours des droites BE, CF et AD (point de Gergonne de DEF et aussi point de Lemoine deABC), appartient `a∆.

Avec∆12variables, c`adP d´ecrivantΓ,A0,B0etC0sont 2 `a 2 en homogra- phie. Il en est de mˆeme pourA00,B00 etC00, donc aussi pourAA0 avecKA00, (etBB0 avecKB00, CC0 avecKC00).

α,β,γ d´ecrivent des coniques (des hyperboles en fait) qui passent parA, B, C et K.

Corollaire : les conjugu´es isogonaux de α, β, γ d´ecrivent des droites passant par le barycentre de ABC. Quandβ est enB, son conjugu´e isogonalβ0 est `a l’infini dans la direction de AC. Les droites sont donc parall`eles aux cˆot´es de ABC.

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Annexe

Lemme: La droite∆coupeBC enA00, AC enB00, etABenC00. A0,B0 etC0 sont d´efinis par les divisions harmoniques :

(B, C, A0, A00) = (C, A, B0, B00) = (A, B, C0, C00) =−1 A0,B00,C00 sont align´es sur la droite L1.

A00,B0,C00 sont align´es sur la droite L2. A00,B00,C0 sont align´es sur la droite L3.

Ces conditions sont n´ecessaires et suffisantes pour que le triangle LM N, en perspective avec ABC de centreX sur∆ (L surL1, M sur L2, N surL3) soit circonscrit `aABC.

Soit xa = AX ∩BC : par projection depuis A00 de la division harmonique (A, B, C0, C00), on a :

(A, xa, X, L) =−1, d’o`u(C/A, B, M, N) =−1 De mˆeme : B/A, C, L, M) =−1

L’intersection de ces 2 faisceaux harmoniques avec la droite M N montre que A appartient `a cette droite. Le mˆeme raisonnement pour LM et LN prouve le lemme.

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