D1880. Directions ` a respecter (1` ere partie)
Q1/ Point B’
On reconnaˆıt la construction des tangentes enM1etM2`a la parabole de foyer B et de directriceAC, ou aussi la d´emonstration que la courbe orthoptique de la parabole est sa directrice.
D’o`u la construction : mener deB les parall`eles `a∆1∆2, qui coupentAC en B10 etB20. B0 est le milieu deB01B20.
Q2/ Droites concourantes
Soit Pab = AA0 ∩BB0. AA0 est sym´etrique de BC par rapport `a ∆1∆2. BB0est sym´etrique deAC par rapport `a ∆1∆2.
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DoncAP\abB =ACB\ ⇒ Pabappartient `a Γ On montre de mˆeme queBB0∩CC0 appartient `a Γ P appartient `a Γ
Q3/ Axe de perspective et triangle auto-polaire
A0B0C0 et ABC sont en perspective de centreP : A00, B00 etC00 sont donc align´es sur∆, axe de perspective des 2 triangles.
Les quadranglesC0B/C0C/A0A/A0BetB0A/B0B/A0A/A0Bmontrent qu’on a les divisions harmoniques :
(B, C, A0, A00) = (C, A, B0, B00) = (A, B, C0, C00) =−1
A0B0C0 est auto-polaire par rapport `a Γ(A0 est le pˆole deB0C0, etc).
Il en r´esulte aussi que les sommets du triangle tangentielDEF deABC ap- partiennent aux cˆot´es deA0B0C0.
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Annexe
Lemme: La droite∆coupeBC enA00, AC enB00, etABenC00. A0,B0 etC0 sont d´efinis par les divisions harmoniques :
(B, C, A0, A00) = (C, A, B0, B00) = (A, B, C0, C00) =−1 A0,B00,C00 sont align´es sur la droite L1.
A00,B0,C00 sont align´es sur la droite L2. A00,B00,C0 sont align´es sur la droite L3.
Ces conditions sont n´ecessaires et suffisantes pour que le triangle LM N, en perspective avec ABC de centreX sur∆ (L surL1, M sur L2, N surL3) soit circonscrit `aABC.
Soit xa = AX ∩BC : par projection depuis A00 de la division harmonique (A, B, C0, C00), on a :
(A, xa, X, L) =−1, d’o`u(C/A, B, M, N) =−1 De mˆeme : B/A, C, L, M) =−1
L’intersection de ces 2 faisceaux harmoniques avec la droite M N montre que A appartient `a cette droite. Le mˆeme raisonnement pour LM et LN prouve le lemme.
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