Activit´e de math´ematiques
R´esolution de l’´equation du troisi`eme degr´e (premi`ere partie)
Le but de l’activit´e est d’´etudier une m´ethode de r´esolution des ´equations du troisi`eme degr´e du type x3+px+q = 0.
M´ethode g´en´erale
On consid`ere deux nombresu etvv´erifiant les relations suivantes :
u3+v3 = −q uv = −
p 3 1. Montrer que u+v est solution de l’´equation x3+px+q= 0.
2. Montrer que u3 etv3 sont solutions de l’´equation X+
− p 3
3 1
X =−q.
3. En d´eduire que u3 et v3 sont solutions de l’´equation du deuxi`eme degr´eX2+qX− p3 27 = 0.
Mise en oeuvre de la m´ethode sur un exemple
On consid`ere l’´equationx3+ 6x−7 = 0 et on cherche une solution sous la formeu+v selon la m´ethode pr´ec´edente.
1. D´eterminer l’´equation du deuxi`eme degr´e v´erifi´ee par u3 etv3. 2. En d´eduire les valeurs de u etv.
3. En d´eduire une solution de l’´equation x3+ 6x−7 = 0. Existe-t-il une autre solution dansR? Application
R´esoudre les ´equations du troisi`eme degr´e suivantes : x3−18x−35 = 0
x3+ 6x−2 = 0
x3+ 3x2+ 9x+ 9 = 0 (utiliser le changement de variablex=y−1)
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