Lemme de Kruskal et un crit`ere de terminaison.

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Lemme de Kruskal et un crit`ere de terminaison.

Fr´ ed´ eric Valet 25 janvier 2015

Définition 1. Un pré-ordre sur un ensembleDest une relation binaire≤vérifiant les conditions de réflexivité et de transitivité. Un beau pré-ordre ≺(ou pré-bel-ordre) sur cet ensemble est un pré-ordre tel que pour toute suite infinie (s_i)_i∈_N deD, il existe un couplei < j tel ques_i≺s_j.

Proposition 2. Si≺est un pr´e-ordre sur D, alors on a ´equivalence entre :

— ≺est un beau pr´e-ordre.

— Pour toute suite infinie(s_i)_i∈_NdeD, il existe une fonctionφ:N→Ninjective et croissante telle que la sous-suite(s_φ(i))_i soit strictement croissante :

∀i∈N,s_φ(i)≺s_φ(i+1).

Démonstration. La seconde caractérisation implique facilement la première. Montrons qu’un pré-bel ordre nous permet de définir une sous-suite strictement croissante. Soit donc (si)i une suite dansD, on pose :

B:={i∈N;∀i < j ,si⊀sj}.

Cet ensemble contient les éléments ne pouvant pas être le début d’une suite croissante. Deux cas se présentent : siB est de cardinal infini, alors la suite dés éléments deB ne peuvent pas respecter la condition du beau-pré ordre. DoncB est de cardinal fini. On poseM une borne supérieure deB ⊂N; en considérant la suite (s_i)_M≤i, par hypothèse du beau-pré ordre, il existe un couple (i, j) avec M < i < jtel que s_i≺s_j. PuisqueM < j, cela implique ques_j∈/B, donc il existe un éléments_j⁰ avecj < j⁰ et s_j≺s_j⁰. Puis on continue cette récurrence, ce qui nous permet de trouver la suite infinie strictement croissante.

Théorème 3. de Higman Soit ≺un beau-pré ordre surD. Alors on définit la relation E suivante sur D^∗, ensemble des mots surD :

— pourle mot vide : E.

— si sEt etb∈D alorssEb·t.

— si a≺bet sEtalorsa·sEb·t.

C’est un beau-pr´e ordre.

Démonstration. Supposons par l’absurde, que le pré-ordreEne soit pas un beau-pré-ordre. Par la définition du beau-pré-ordre, il existe une suite infinie de mots (si)i telle que pour touti < j, si5sj. On note :

E:={(si)i∈N,∀i < j ,si5sj}.

Cet ensemble admet un élément minimal, dans le sens où une suite (s_i)_iest inférieure à une autre (t_i)_is’il existe uni₀tel que :

∀i < i₀ ,|s_i|=|t_i|et|s_i₀| ≤ |t_i₀|.

Cette manière de comparer ressemble à l’ordre lexicographique sur les longueurs des mots. On remarque qu’aucun mot ne peut être le mot vide.

On note donc (si)i une suite minimisante. Soitai la premi`ere lettre du mot si =ai·wi, et ce pour chaque i.

Puisque l’ordre ≺est un pré-bel-ordre, on peut extraire une sous-suite (a_φ(i))i, qui soit strictement croissante pour≺. Soit à présent la suite de mots :

(xi)_i∈N:=s0, s1,· · ·, s_φ(0)−1, w_φ(0), w_φ(1), w_φ(2),· · ·

Puisque |wφ(0)|<|sφ(0)|, la suite (xi)i est plus petite que la suite (si)i, donc cette suite n’appartient pas `a E.

Il existe donc deux indicesi < jtels quexiExj. On a vu qu’on ne pouvait pas avoirj < φ(0). Sii < φ(0)≤j, alorssi Ewj, et par d´efinition de E,si Esj, ce qui est absurde. Donc φ(0)≤i < j; on awi Ewj et ai≺aj

par extraction de la sous-suite, doncs_i Es_j, ce qui est absurde.

On peut définir à présent l’ordre de plongement :

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Définition 4. Soit Σ une signature, muni d’un pré-bel ordre ≺. L’ordre de plongement, noté E, et dont le symbole ne sera associé plus qu’au plongement, est défini sur l’ensemble des termes T =T(Σ) par :

— Soients, b₁,· · · , b_n des termes et t un symbole de fonctions d’arit´en . Si pour uni en particulier, on asEb_i, alors sEt(b₁,· · · , b_n).

— Soient deux termes s(a₁,· · ·, a_m)ett(b₁,· · · , b_n).

Sis≺t et il existe une sous-suite croissante {j₁,· · ·, j_m} de[|1, n|] telle que pour touti≤n, a_iEb_j_i, alors on as(a₁,· · · , a_m)Et(b₁,· · · , b_n).

L’ordre de plongement est un pr´e-ordre.

Théorème 5. de Kruskal Etant donn´´ e un pré-bel-ordre ≺ sur une signature Σ, le plongement E est un pré-bel-ordre sur les termes T(Σ).

Démonstration. Comme dans la preuve du lemme de Higman, on suppose que le plongement n’est pas un pré- bel-ordre. SoitEl’ensemble des suites de termes (si)ivérifiant∀i < j ,si5sj. On choisit une suite minimale : (si)i est inférieure (s⁰_i)i s’il existei0 tel que :

∀i < i0, |si|=|s⁰_i|et|si0|<|s⁰_i₀|,

o`u cette fois-ci on compare deux suites similairement `a l’ordre lexicographique sur les hauteurs des termes.

De mˆeme, le mot vide ne peut ˆetre dans la suite.

Posons pour chaquei,s_i:=t_i(aⁱ₁,· · ·, aⁱ_r

i) ; on peut d´efinir une sous suite (t_φ(i))_i qui soit strictement croissante pour≺.

On considère à présent, sur l’alphabet A(qui est dénombrable) constitué des lettres : (a^φ(1)₁ ,· · · , a^φ(1)_r

φ(1),· · · , a^φ(i)₁ ,· · · , a^φ(i)_r

φ(i),· · ·).

Montrons que E est un pré-bel-ordre sur A. Si ce n’en était pas un, on peut considérer une suite r = (r₁,· · ·, r_i,· · ·) telle que pour touti < j,r_i 5r_j. Cette propriété tient aussi pour toute sous-suite. De plus, il existe deux indicesi < j tels que r_i (respectivementr_j) soit le sous-terme d’un élément s_p(respectivements_q) avecp < q. En effet,rdoit contenir une infinité de de termes différents, mais chaque termesi ne contient qu’un nombre fini de termes. On peut itérer ce procédé, et on trouve une sous-suiter⁰ = (r₁⁰,· · ·, r_i⁰,· · ·) der telle que pouri < j, le termer_i⁰ (respectivementr_j⁰) soit le sous-terme d’un termesp (respectivementsq) avecp < q.

Soitnl’indice du premier termesn admettantr₁⁰ comme sous-terme. Si n= 1, alorsr⁰ contredit la minimalit´e de la suites. On a donc n≥2, et cette fois-ci, la suite :

(s1,· · ·, sn−1, r⁰₁,· · ·, r⁰_i,· · ·)

contredit la minimalit´e des(il faut faire par disjonction de cas, comme dans le lemme de Higman). On a donc conclu queEest un pr´e-bel-ordre sur l’alphabetA.

D’après le lemme de Higman, on peut étendre ce pré-bel-ordre aux mots sur l’alphabetA. En particulier, les motsw_i :=a^φ(i)₁ ,· · ·, a^φ(i)_r

φ(i) définis pour chaqueisont des mots deA∗. On peut donc extraire de la suite (wi)_i deux termes w_i et w_j aveci < j tels que w_i E w_j. Cependant, grâce à la première extraction sur (t_i)_i, on a obtenu (en utilisant la transitivité) quet_iEt_j. Donc en composant, on obtients_i Es_j, ce qui est absurde.

On a le corollaire imm´ediat suivant :

Corollaire 6. Si la signatureΣest finie et est munie d’un pr´e-bel-ordre, alors de toute suite infinie de termes (si)i, on peut extraire deux termessi etsj tels quei < j etsiEsj.

D´efinition 7. SoitΣune signature.

Un ordre de réduction <sur les termes T(Σ) est un ordre bien fondé, qui soit clos par substitution (sis < t alors pour σ une substitution,σ(s)< σ(t))et compatible avec les opérations (si C est un contexte, c’est-à-dire un terme avec un ”trou”, et si s < talorsC[s]< C[t]).

Un ordre de simplification <est un ordre sur les termes, clos par substitution, compatible avec les op´erations et v´erifiant :

∀f ∈Σ⁽ⁿ⁾,∀i≤n ,x_i< f(x₁,· · ·, x_n).

Un syst`eme de r´eduction terminantR est dit simplifiant s’il existe un ordre de simplification<tel que :

∀t, t⁰ termes v´erifiantt→Rt⁰ alorst⁰< t.

Proposition 8. Soit<un ordre de simplification surT(Σ). SiΣest finie, alors <est bien fond´ee.

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Remarque : La bien-fondaison nous permet d’avoir un ordre de réduction, qui lui va nous donner automati- quement la terminaison du système de réécriture.

D´emonstration. Supposons par l’absurde qu’il existe une suite infinie (s_i)_i de termes d´ecroissante pour l’ordre de simplification<: pour touti,s_i> s_i+1.

A i fix´e, supposons que s_i+1 contienne une variable x n’ayant aucune occurrence dans s_i. Alors en posant σ= [s_i/x], alors :

s_i=σ(s_i)> σ(s_i+1) =C[s_i],

o`uC est le contexte tel que si+1 =C[si]. Doncsi > C[si], ce qui contredit la d´efinition de l’ordre de simplification.

Ainsi quelque soit i, si+1 n’a que des variables de si. Donc dans cette suite, il n’y a qu’un nombre fini de variables. On peut considérer maintenant ces variables comme étant des constantes. La nouvelle signature est donc finie. La suite (si)iest donc une suite de termes clos, sans variables. Par la proposition précédente, il existe i < j tel que siEsj.si se plonge danssj, et cela nous donnesi< sj (se fait par induction, ou par un dessin).

Ceci contredit la d´ecroissance de (si)i.

R´ ef´ erences

[1] Hubert Comon et Jean-Pierre Jouannaud. Les termes en logique et en programmation. http ://www.lsv.ens- cachan.fr/ comon/cours.html, D´ecembre 1997.

[2] Jean H. Gallier. What’s so special about kruskal’s theorem and the ordinal t0 ? a survey of some results in proof theory. University of Pennsylvania, Scholarly Commons, page 6, September 1993.

[3] Terese. Term Rewriting Systems. Cambridge Tracts in Theoretical Computer sciences, 2003.

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