• Aucun résultat trouvé

Les deux limites se pr´esentent sous la forme indetermin´ee

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "Les deux limites se pr´esentent sous la forme indetermin´ee"

Copied!
1
0
0

Texte intégral

(1)

Corrig´e - Analyse Exercice 1

1. Les deux limites se pr´esentent sous la forme indetermin´ee [+∞+∞].

2. Par croissance compar´ee nous savons que limn→∞ n

en = 0 et limn→+∞ln(n)

n! = 0. Mais,

n→+∞lim

1 + 2n+ 3en

4 + 5n+ 6en = lim

n→+∞

en(e1n +2nen + 3) en(e4n +5nen + 6) = 3

6 = 1 2. Ensuite

n→+∞lim

n! + 2 ln(n)

n! + 3 ln(n) = lim

n→+∞

n!(1 + 2 ln(n)n! ) n!(1 + 3 ln(n)n! ) = 1.

Exercice 2

1. On a f(1) = 2 et f(−1) = 0. Ensuite, limx→±∞ (x+1)2

x2+1 = limx→±∞

x2(1+x2+1

x2) x2(1+ 1

x2) = 1.

2. f0(x) = 2(x+1)(x(x2+1)−(x+1)2+1)2 22x. Le d´enominateur ´etant toujours positif, on af0(x)≥0 si et seulement si 2(x+ 1)(x2 + 1)−(x+ 1)22x > 0, c’est `a dire si et seulement si 2(x+ 1)(1−x) ≥ 0. Cet in´egalit´e est v´erifi´ee si et seulement si −1 ≤ x ≤ 1.

Donc f est d´ecroissante dans ]− ∞,−1], ensuite croissante dans [−1,1] et encore d´ecroissante dans [1,∞[.

3. Le tableau des variations montre que le maximum de f estf(1) = 2 et le minimum estf(−1) = 0. Donc sup{f(x)|x∈R}= 2 et inf{f(x)|x∈R}= 0.

Exercice 3

1. Tout nombre complexe de la forme z =ρe, o`u ρ ≥0 et θ ∈R est de module ρ et argumentθ. Donc |zn|= (1 + 1n) et arg(zn) = π2 + 2π(n2n+1).

2. On a lim|zn|= 1. Ensuite, comme les nombres complexes ne sont pas affect´es si on enl`eve des multiples entiers de 2π `a leurs arguments, on peut observer que

arg(zn) = π

2 + 2πn+ 2π

n mod 2π

= π 2 +2π

n mod 2π

→ π

2 mod 2π.

On conclut alors que limn→+∞zn=eiπ2 =i.

3. Mais alors z1

n1i =−i, et zn2 →i2 =−1.

4

Références

Documents relatifs

(d) Vous devez appuyer votre pr´ esentation orale par un fichier sous forme pdf (Portable Document Format), odp (Open Document Presentation) ou ppt (Microsoft Power Point) semblable `

Sous quelle forme indedermin´ ee ces limites se pr´ esentent-t-elles2. Tracer le graphe

Riiire de 255 formules que vous pourez utiliser durant l'épreuve de I'UE 3.2 mais àusside points méthodologiques, cet ouvrage vous permettftl de briller le jour J.

Over 40 centrifuge tests of ring footings on tbe sa.Dd have been carried out at accelerations from 10 to 160 gravities to investigate the effect of footing size, ring radii ratio

Nous r´ esumons ici un algorithme qui permet de transformer toute matrice en une matrice en forme ´ echelonn´ ee (r´ eduite).. Cet algorithme utilise les op´

« « Rien ne se perd, rien ne se cr Rien ne se perd, rien ne se cr é é e, tout se e, tout se

PR ´ EPARATION DES DONN ´ EES Pour pouvoir manipuler ce fichier (et faire des statistiques dessus), il faut le stocker dans une variable de type un peu sp´ ecial qu’on

[r]