Exercice 1 Calculer en fonction des r´ eels a, b et c les d´ eterminants suivants. Les expressions seront donn´ ees sous forme factoris´ ee.

UNIVERSIT´ E PIERRE ET MARIE CURIE Anne 2007-2008

MIME 23-24 LM 125

Devoir 3

A rendre le lundi 5 mai

Exercice 1 Calculer en fonction des r´ eels a, b et c les d´ eterminants suivants. Les expressions seront donn´ ees sous forme factoris´ ee.

D 1 =

1 0 a 1 b 5 b c 1 0 a a 1 0 a a ²

, D 2 =

1 a a ² 1 b b ² 1 c c ²

, D 3 =

2 − a −1 −1 1 2 − a 1

−1 1 2 − a .

Exercice 2 Soient a et b deux r´ eels distincts. On pose pour tout n ∈ N ^∗

A _n =

















a + b ab 0 . . . 0

1 a + b ab . .. .. . 0 1 a + b . .. 0 .. . . .. . .. . .. ab

0 . . . 0 1 a + b

















∈ M _n ( R )

1. Calculer det(A ₁ ), det(A ₂ ) et det(A ₃ ).

2. Montrer que, pour tout entier naturel n ≥ 3, on a :

det(A _n ) = (a + b) det(A n−1 ) − ab det(A n−2 ).

3. En d´ eduire que, pour tout n ∈ N ^∗ , on a : det(A _n ) = ^a

_a−b ^−b

.

Exercice 3 Notons B = (1, X, X ² , X ³ ) la base canonique de R 3 [X] et C = (e ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₄ ) la base canonique de R ⁴ . On consid` ere l’application f : R ³ [X] → R ⁴ d´ efinie pour tout P ∈ R ³ [X] par

f(P ) = (P (0), P ⁰ (1), P ⁰⁰ (2), P ⁰⁰⁰ (3))

o` u P ⁽⁰⁾ = P , P ⁽¹⁾ = P ⁰ , P ⁽²⁾ = P ⁰⁰ , P ⁽³⁾ = P ⁰⁰⁰ d´ esignent les d´ eriv´ ees successives de P . 1. Montrer que f est lin´ eaire.

2. D´ eterminer ker(f). En d´ eduire que f est un isomorphisme d’espaces vectoriels.

3. Calculer les polynˆ omes H _i = f ⁻¹ (e _i+1 ) pour i ∈ {0, 1, 2, 3}.

4. Montrer que H = (H ₀ , H ₁ , H ₂ , H ₃ ) est une base de R ³ [X] et que, pour tout P ∈ R ³ [X], on a :

P =

3

X

i=0

P ⁽ⁱ⁾ (i)H _i .

5. Ecrire la matrice de f relative aux bases B et C . 6. Ecrire la matrice de f relative aux bases H et C .

7. Donner les matrices de passage de la base H ` a la base B et de la base B ` a la base H.

8. Quelle relation existe-t-il entre les matrices d´ efinies aux questions 5, 6 et 7 ?

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Exercice 4 Pour (i, j) ∈ N ² , on pose : δ _ij =

0 si i 6= j

1 si i = j . Soit n ∈ N ^∗ .

1. Soient a ₀ , a ₁ ,..., a _n n + 1 r´ eels distincts. Pour tout i ∈ {0, 1..., n}, on pose :

L _i (X) =

n

Y

k=0,k6=i

X − a _k

a _i − a _k = X − a ₀

a _i − a ₀ . . . X − a i−1

a _i − a i−1

X − a _i+1

a _i − a _i+1 . . . X − a _n a _i − a _n

Calculer L _i (a _j ) pour (i, j) ∈ {0, 1, ..., n} ² . Montrer que (L ₀ , L ₁ , ..., L _n ) est une base de R n [X] et donner, pour tout P ∈ R n [X], les composantes de P dans cette base.

2. Soient E un espace vectoriel sur R de dimension p ∈ N ^∗ . On note E ^∗ = L(E, R ) l’ensemble des applications lin´ eaires de E dans R (E ^∗ est appel´ e l’espace dual de E).

(a) Montrer que E ^∗ est un sous-espace vectoriel du R -espace vectoriel F (E, R ) des fonc- tions de E dans R .

(b) Soit (e ₁ , ..., e _p ) une base de E. Pour i ∈ {1, ..., p}, on note e ^∗ _i l’unique ´ el´ ement de E ^∗ tel que, pour tout j ∈ {1, ..., p} : e ^∗ _i (e j ) = δ ij .

Montrer que (e ^∗ ₁ , ..., e ^∗ _p ) est une base de E ^∗ et donner les composantes de ϕ dans cette base pour tout ϕ ∈ E ^∗ . Quelle est la dimension de E ^∗ en fonction de la dimension de E ?

3. (a) Dans le cas o` u E = R ⁿ et (e ₁ , ..., e _n ) est la base canonique de R ⁿ , que sont les e ^∗ _i pour i ∈ {1, ..., n} ?

(b) Dans le cas o` u E = R n [X], que sont les L ^∗ _i pour i ∈ {0, ..., n} ?

(c) Dans le cas o` u E = R n [X] et (P ₀ , P ₁ , ..., P _n ) = (1, X, ..., X ⁿ ), que sont les P _i ^∗ pour i ∈ {0, ..., n} ?

4. Soient E et F deux espaces vectoriels sur R de dimensions respectives p et q et (e ₁ , ..., e _p ) une base de E et (f ₁ , ..., f _q ) une base de F . Soit u ∈ L(E, F ).

(a) Montrer que, pour tout ψ ∈ F ^∗ , on a : ψ ◦ u ∈ E ^∗ . (b) Montrer que l’application ^t u : F ^∗ → E ^∗

ψ 7→ ψ ◦ u est lin´ eaire.

(c) Soient A la matrice de u dans les bases (e ₁ , ..., e _p ) et (f ₁ , ..., f _q ) et B la matrice de

t u dans les bases (f ₁ ^∗ , ..., f _q ^∗ ) et (e ^∗ ₁ , ..., e ^∗ _p ). Quelle relation existe-t-il entre A et B ?

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