Q₁ Déterminer les lieux de J et de L quand D parcourt le segment AB

D1973 – Trois jolies rondes [** à la main]

Dans un repère orthonormé Oxy, on trace les sommets d’un carré OABC avec O(0,0), A(1,0), B(1,1) et C(0,1). Soit D un point courant du segment AB.

La demi-droite (OD) coupe la demi-droite (CB) en E et la demi-droite (CD) coupe la demi- droite (OA) en F. Les segments AE et CF se coupent en G tandis que le segment BF coupe respectivement le segment OE en H et le segment AE en I.La demi-droite (AH) coupe

respectivement le segment CF en J et la demi-droite (CB) en K tandis que la demi-droite (BG) coupe respectivement le segment OE en L et la demi-droite (OA) en M.Enfin les segments AL et BJ se coupent en N..

Q₁ Déterminer les lieux de J et de L quand D parcourt le segment AB.

Q₂ Démontrer que les cinq points A,D,I,L,M ,les cinq points B,D,I,J,K et les six points G,H,I,J,L,N sont situés sur trois cercles distincts.

Q₃ Démontrer que les points D,I et N sont alignés avec le centre P du carré OABC.

Q₄ Déterminer le lieu du point d’intersection des tangentes communes aux cercles DLJ et GHIJLN quand D parcourt le segment AB.

Solution proposée par Bernard Vignes

On pose AD = a avec 0 ≤ a ≤ 1. D’où BD = 1 – a et AF = a/(1 – a). D’où BE = (1- a) /a et OF

= 1 + AF = 1/(1 – a).

Droite OE : équation y = ax

Droite CF : équation y = (a – 1)x + 1 Droite AE : équation y = a(x – 1)/(1 – a) Droite BF : équation y = (a –1)(x – 1)/a + 1 On démontre sucessivement que :

1) AE et BF sont perpendiculaires au point I. En effet pente de AE = AB/BE = a/(1 – a) et pente de BF = – AB/AF = – (1 – a)/a. Le produit des pentes est égal à – 1.

2) CD et AH sont perpendiculaires au point J. En effet pente de CD = a – 1 et pente de AH = ordonnée de H / (abscisse de H – 1) . Or abscisse de H = 1/(a² – a + 1) et ordonnée de H = a/(a² – a + 1) . D’où pente de AH = a/(a – a²) = 1/(1 – a). Le produit des pentes est encore égal à – 1.

3) BG et OE sont perpendiculaires au point L. En effet pente de OE = a et pente de BG = (ordonnée de G – 1) /(abscisse de G – 1). Or abscisse de G = 1/(a² – a + 1) = abscisse

de H = et ordonnée de G = a²/(a² – a + 1) . D’où pente de BG = – 1/a.Le produit des pentes est égal à – 1.

Par ailleurs BK/AB = (abscisse de H – 1)/ordonnée de H => BK = 1 – a = BD et AM/AB

= (abscisse de G – 1)/(1 – ordonnée de G) ==> AM = a = AD.

Enfin AI/BI = AF/AB = a/(1 – a) = AD/BD, ce qui montre que DI est bissectrice de l’angle droit AIB.

Q₁ Lieux de I et de J : même arc de cercle sous-tendu par la corde AB et appartenant au cercle circonscrit au carré OABC de diamètre CA (cf lieu de I) et de diamètre OB(cf lieu de J).

Q₂ Les points A,D,L,M sont cocycliques (2 angles droits en A et L).Par ailleurs

angle(DLA) = 45°. De même angle(AID) = 45° ==> A,D,I,L sont cocycliques.La segment PA est tangent au cercle ADILM car angle (PAP₁) = angle(PAD) + angle(DAP₁) = 45° + 45° = 90° car P₁ est sur la bissectrice de DAM avec AM = AD (voir supra).

De même les points B,D,I,E sont coycliques (2 angles droits en B et I) et angle(BID) = angle(BJD) = 45° ==> B,D,I,J sont cocycliques.Le segment PB est tangent au cercle BDJIK.

Les cinq points G,H,I,J,L sont cocycliques (cf angles droits en I,J et L). Par ailleurs angle (CJB) = 45° et angle(BJH) = 90° – angle(CJB) = 45°. De même angle(OLA) = 45° = angle(ALG). D’où angle(ALH) = 180° - 45° = 135° qui est le supplément de l’angle (BJH) = angle(NJH). N appartient donc au cercle HJL.

Q₃ Alignement de D,I et N : comme DI est bissectrice de l’angle droite(AIB), on a

angle(DIA) = 45°. De plus,angle(ALG) = 45° = angle(NLG) = angle(NIG) (cf les 6 points sont cocycliques) et angle(NIG) )= angle(DIG) = angle(DIA) ==> D,I et N sont alignés Par ailleurs le cercle de diamètre AB passe par I (angle (AIB) droit) et par P centre du caccré (angle (APB) droit). Comme DI est bissectrice del’angle (AIB), DI coupe l’arc APB en son milieu, c’est à dire en P. Les points P,D,I sont donc alignés.

Q₄ L’inversion de centre P et de puissance PA² = PB² laisse inchangés les cercles

ADLIM et BDJIK. Le point D devient le point I avec PD*PI = PA² = PB².Les points J et L restent inchangés. Le cercle des six points GHIJLN devient alors le cercle DLJ. Les tangentes communes à ces deux cercles passent donc par le point fixe P qui est le lieu recherché.