Seconde 1 Exercices sur le chapitre 19 : E6. page n ° 1 2007 2008
E6 Aire maximale d'un rectangle.
Soit ABC un triangle rectangle et isocèle en A tel que AB = AC = 6.
Soit M un point du segment [ AB ].
La parallèle à ( AC ) passant par M coupe ( BC ) en N et la parallèle à ( AB ) passant par N coupe [ AC ] en P.
On pose AM = x.
1. M est un point du segment [ AB ] qui mesure 6 unités.
Donc x est un nombre compris entre 0 et 6.
L'intervalle des valeurs possibles de x est [ 0 ; 6 ].
2. La parallèle à ( AC ) passant par M coupe ( BC ) en N. Donc ( AC ) // ( MN ).
La parallèle à ( AB ) passant par N coupe [ AC ] en P. Donc ( AB ) // ( PN ) Or P ∈ ( AC ) donc ( AP ) // ( MN ) et M ∈ [ AB ] donc ( AM ) // ( PN ).
Or un quadrilatère ayant ses côtés opposés parallèles est un parallélogramme.
Donc AMNP est un parallélogramme.
Or ABC est un triangle rectangle en A. Donc PAM est un angle droit.
Or un parallélogramme ayant un angle droite est un rectangle.
Donc le quadrilatère AMNP est un rectangle.
3. a. ABC est un triangle.
M ∈ [ AB ] N ∈ [ AC ] ( MN ) // ( AC )
D'après le théorème de Thalès, on a : BM BA = BN
BC = MN AC . Je viens donc de justifier que BM
BA = MN AC .
b. BM
BA = MN
AC⇔ BM × AC = MN × BA ⇔ ( 6 − x ) × 6 = MN × 6 ⇔ MN = 6 − x.
Donc je viens de déduire que MN = 6 − x.
c. L'aire du rectangle AMNP est donc AM × MN = x × ( 6 − x ) = 6x − x².
Donc je déduis que l'aire du rectangle AMNP est donnée par A ( x ) = 6x − x².
4. a. - ( x − 3 )² + 9 = - x² + 6x − 9 + 9 = 6x − x² = A ( x ).
J'ai donc vérifié que A ( x ) = - ( x − 3 )² + 9.
b. Le procédé de calcul permettant de passer de x à A ( x ) est :
Prendre un réel x, lui retrancher 3, élever le tout au carré, multiplier par - 1, et ajouter 9.
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c. Soient x1 et x2 deux réels de [ 0 ; 3 ] tels que 0 ≤ x1 < x2 ≤ 3.
Alors - 3 ≤ x1 − 3 < x2 − 3 ≤ 0 car ajouter - 3 ne change pas le sens des inégalités.
Ainsi 9 ≥ ( x1 − 3 )² > ( x2 − 3 )² ≥ 0 car la fonction carrée est strictement décroissante sur [ - 3 ; 0 ].
D'où - 9 ≤ - ( x1 − 3 )² < - ( x2 − 3 )² ≤ 0 car multiplier par - 1 change le sens de l'inégalité.
Donc 0 ≤ - ( x1− 3 )² + 9 < - ( x2− 3 )² + 9 ≤ 9 car ajouter 9 ne change pas le sens des inégalités.
Donc A ( x1 ) < A ( x 2 ) c'est à dire que A est une fonction strictement croissante sur [ 0 ; 3 ].
Soient x1 et x2 deux réels de [ 3 ; 6 ] tels que 3 ≤ x1 < x2 ≤ 6.
Alors 0 ≤ x1 − 3 < x2 − 3 ≤ 3 car ajouter - 3 ne change pas le sens des inégalités.
Ainsi 0 ≤ ( x1 − 3 )² < ( x2 − 3 )² ≤ 9 car la fonction carrée est strictement croissante sur [ 0 ; 3 ].
D'où 0 ≥ - ( x1− 3 )² > - ( x2− 3 )² ≥ - 9 car multiplier par - 1 change le sens de l'inégalité.
Donc 9 ≥ - ( x1 − 3 )² + 9 > - ( x2 − 3 )² + 9 ≥ 0 car ajouter 9 ne change pas le sens des inégalités.
Donc A ( x1 ) > A ( x 2 ) c'est à dire que A est une fonction strictement décroissante sur [ 3 ; 6 ].
d. Le tableau de variation de A est :
x 0 3 6
9 f
0 0
5. Pour tout x ∈ [ 0 ; 3 ] on a f ( x ) ≤ f ( 3 ) et pour tout x ∈ [ 3 ; 6 ] on a f ( 3 ) ≥ f ( x ).
Donc pour tout x de [ 0 ; 6 ], on a f ( x ) ≤ 9. Et la valeur du maximum est f ( 3 ) = 9.
Donc la position du point M pour laquelle l'aire du rectangle AMNP est maximale est le milieu du segment [ AB ].
Cette aire maximale vaut 9.
6. a. A ( x ) = 8 ⇔ - ( x − 3 )² + 9 = 8 ⇔ 1 − ( x − 3 )² = 0 ⇔ ( 1 − x + 3 ) ( 1 + x − 3 ) = 0 A ( x ) = 8 ⇔ ( 4 − x ) ( x − 2 ) = 0 ⇔ x = 4 ou x = 2.
Les deux positions possibles du point M pour lesquelles l'aire du rectangle est égale à 8 sont pour x = 2 ( appelons D ce point ) et pour x = 4 ( appelons E ce point ) c'est à dire à 1
3 du point A ou bien à 1 3 du point B.
b. A ( x ) ≥ 8 ⇔ - ( x − 3 )² + 9 ≥ 8 ⇔ 1 − ( x − 3 )² ≥ 0 ⇔ ( 1 − x + 3 ) ( 1 + x − 3 ) ≥ 0
x 0 2 4 6
4 − x + + 0 −
x − 2 − 0 + +
( 4 − x ) ( x − 2 ) − 0 + 0 −
Les positions possibles du point M pour lesquelles l'aire du rectangle AMNP est supérieure ou égale à 8 sont celles situées sur le segment [ DE ].
