La porte est le segment [ AB

Première S Devoir maison n ° 4 : exemple de corrigé. Page n ° 1 2007 2008

Monsieur Cantor, fermier de la région, dispose de 30 mètres de grillage.

Il veut clore son poulailler de manière à ce qu'il forme un rectangle avec le mur de sa grange et que la surface au sol soit la plus grande possible.

Voici un schéma représentant la situation.

La ligne pointillée BCDE représente le grillage.

Le segment [ AE ] représente une partie du mur.

La porte est le segment [ AB ].

On suppose AB = 3 m.

Posons BC = x. Alors on a BC + CD + DE = 30 ⇔ CD = 30 − x − ( 3 + x ) = 30 − x − 3 − x = 27 − 2x 1 ) Exprimons l'aire du rectangle AEDC en fonction de x : AE × ED = AE × ( 3 + x ) = ( 27 − 2x ) ( 3 + x ).

A ( x ) = 81 + 27x − 6x − 2x² = − 2x² + 21x + 81

2 ) C'est un trinôme du second degré et pour trouver son maximum, il nous faut la forme canonique.

A ( x ) = − 2 ( x² − 10,5 ) + 81 = − 2 [ ( x − 5,25 )² − 5,25² ] + 81 = − 2 ( x − 5,25 )² + 2 × 27,5625 + 81 A ( x ) = − 2 ( x − 5,25 )² + 55,125 + 81 = − 2 ( x − 5,25 )² + 136,125.

3 ) Le maximum semble être 136,125 atteint pour x = 5,25. Démontrons le.

Soit x < 5,25 alors x − 5,25 < 0 donc ( x − 5,25 )² > 0

donc − 2 ( x − 5,25 )² < 0 d'où − 2 ( x − 5,25 )² + 136,125 < 136,125.

Soit x > 5,25 alors x − 5,25 > 0 donc ( x − 5,25 )² > 0

donc − 2 ( x − 5,25 )² < 0 d'où − 2 ( x − 5,25 )² + 136,125 < 136,125.

Soit x = 5,25 alors x − 5,25 = 0 donc ( x − 5,25 )² = 0

donc − 2 ( x − 5,25 )² = 0 d'où − 2 ( x − 5,25 )² + 136,125 = 136,125.

Autrement dit ∀ x ∈ , A ( x ) ≤ 136,125.

Donc le maximum de A est le nombre 136,125 atteint pour x = 5,25.

4 ) Concluons

Le fermier devra clore son poulailler en utilisant les valeurs suivantes : BC = 5,25 m et CD = 27 − 2 × 5,25 = 27 − 10,5 = 16,5 m ;

Et DE = 8,25 m.

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E2 Etude d'une fonction.

1. D = { x ∈ / f ( x ) existe } = { x ∈ / x + 1 ≠ 0 } = { x ∈ / x ≠ - 1 } = − { - 1 }.

2. Le domaine de définition de f est − { - 1 }. Et 1 ∈ D et - 1 ∉ D.

C'est un domaine qui n'est pas symétrique par rapport à 0. Donc la fonction f n'est ni paire, ni impaire.

3. Trouvons trois réels a, b et c tels que pour tout x ∈ D f ( x ) = ax + b + 1 x

c+

⇔ x 1 3 x

² x++ +

− ₌

1 x

c ) 1 x )(

b ax (

++ +

+ ⇔ -x² + x + 3 = ax² + ax + b x + b + c ⇔ a = - 1 et -1 + b = 1 et b + c = 3

⇔ a = - 1 et b = 2 et c = 1.

Vérifions ce résultat : -x + 2 + 1 x

1+ =

1 x

) 1 x )(

2 x (

+ + +

− +

1 x

1+ =

1 x

1 2 x 2 x

²

x − ++ + +

− =

1 x

3 x

² x ++ +

− Donc f ( x ) = -x + 2 +

1 x

1+

4. Si x < - 1 alors x + 1 < 0 donc 1 x

1+ < 0 donc f ( x ) − ( -x + 2 ) < 0 ⇔ f ( x ) < - x + 2.

Autrement dit la courbe représentative de f se situe strictement en dessous de la droite ∆.

Si x > - 1 alors x + 1 > 0 donc 1 x

1+ > 0 donc f ( x ) − ( -x + 2 ) > 0 ⇔ f ( x ) > - x + 2.

Autrement dit la courbe représentative de f se situe strictement au dessus de la droite ∆.

5. Soit x ∈ tel que - 1 + x et - 1 − x sont deux réels de D ;cad - 1 + x ≠ - 1 et - 1 − x ≠ - 1 cad x ≠ 0.

Démontrons que les deux points M et M ' d'abscisses -1 + x et - 1 − x sont symétriques par rapport à I c'est à dire que I est le milieu du segment [ MM ' ]. Soit donc x un réel différent de 0, alors f ( - 1 + x ) + f ( - 1 − x ) = - ( -1 + x ) + 2 +

1 x 1

1 + +

− − ( -1 − x ) + 2 + 1 x 1

1 +

−

− f ( -1 +x ) + f ( - 1 − x ) = 1 − x + 2 + 1

x + 1 + x + 2 − 1

x = 6 = 2 × 3.

Or 3 est l'ordonnée du point I.

Donc le point I est centre de symétrie pour la courbe représentative de f.

Courbe de f.