DATE : Jeudi 14/03/2019 Tpro GA2, M SERRE
DÉMARCHE D'INVESTIGATION : IMPLANTATION D'UN BÂTIMENT issu du site Maths Sciences de l'académie de Versailles (15/11/2013)
La mairie de Savigny-sur-Math veut implanter un bâtiment passif (habitat dont la consommation énergétique au m² est très basse / photo 1) sur une zone constructible en forme de triangle rectangle de dimensions 200 m sur 100 m. Le bâtiment forme un rectangle inscrit dans le triangle (photo 2).
Problématique : où placer le point D afin d’obtenir la surface au sol la plus grande ?
Photo 2 Photo 1 ©Menerga
Compétences et capacités évaluées :
RÉALISER : déterminer une dérivée à l'aide d'un formulaire (1) RÉALISER : étudier les variations d'une fonction (2)
RÉALISER : dresser un tableau de variations (3)
RÉALISER (TIC) : construire une courbe représentative à la calculatrice (4) VALIDER : Donner la réponse à la problématique en argumentant (5)
COMMUNIQUER : maximum (4) + (5)
La surface au sol du bâtiment peut être modélisée par la fonction f(x) définie sur l'intervalle [0 ; 200] par f(x) = -0,5x² + 100x avec x l'abscisse du point D
1) On désigne par f ' la fonction dérivée de la fonction f. Déterminer f '(x) à l'aide du formulaire en page 2.
f ‘(x) = 2*(-0,5)x + 100 = -x + 100
2) Étudier le signe de f '(x) sur l'intervalle [0 ; 200] c'est à dire chercher à savoir quand f '(x) est positif ou
f '(x) est négatif. SI VOUS N'Y ARRIVEZ PAS, PASSEZ A LA QUESTION 4)
f’(x) = 0 cad -x + 100 = 0 cad -x = -100 cad x = 100 donc f’(x) = 0 pour x = 100
f ‘(x) > 0 cad -x + 100 > 0 cad -x > -100 cad x < -100/-1 cad x < 100 donc f ‘(x) > 0 pour x < 100
3) Compléter le tableau de variation de la fonction f (c'est à dire rajouter des nombres, des + ou des – et une ou des flèches). Il faut calculer f(0), f(100) et f(200) à la calculatrice.
x 0 100 200 Signe de f '(x) + 0 -
Variations de f
5000
0 0
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DATE : Jeudi 14/03/2019 Tpro GA2, M SERRE
DÉMARCHE D'INVESTIGATION : IMPLANTATION D'UN BÂTIMENT issu du site Maths Sciences de l'académie de Versailles (15/11/2013)
4) Tracer la courbe représentative de la fonction f à la calculatrice et comparer avec votre tableau de variations.
5) Répondre à la problématique : où placer le point D afin d’obtenir la surface au sol la plus grande ? Quelle sera cette surface au sol ?
Il faut placer le point D en x = 100. La surface au sol sera alors de 5000 m² 6) Pour obtenir une surface au sol de 2000 m², où faut-il placer le point D ?
Par approximation, en remplaçant x par des valeurs, on trouve entre 22 et 23.
Sinon, dans f(x) en Y2 on met 2000. Puis graphe puis 2nde trace 5 intersection + 3fois entrée et on trouve x = 22,5 pour la solution de gauche. Pour celle de droite, 2 fois entrée puis x = 150 par exemple et on trouve x = 177,5
FONCTIONS USUELLES ET LEURS DERIVEES
SIGNE DE LA DERIVEE ET SENS DE VARIATION DE LA FONCTION
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