Le disque vert devient une sphère de diamètre

(1)

G152. Qui est le plus obtus des deux ? ***

Q1 On donne un segment fixe AB de longueur d dans le plan Oxy et on considère la portion (P1) du plan qui contient tous les points C tels que le triangle ABC admet AB comme plus grand côté. On choisit au hasard un point M dans (P1) selon une loi de probabilités uniforme. Quelle est la probabilité que le triangle ABM soit obtus?

Q2 On donne un segment fixe AB de longueur d dans l'espace à 3 dimensions Oxyz et on considère la portion (P2) de l'espace qui contient tous les points C tels que le triangle ABC admet AB comme plus grand côté. On choisit au hasard un point M dans (P2) selon une loi de probabilités uniforme.

Quelle est la probabilité que le triangle ABM soit obtus ? Q1

L’ensemble des triangles ayant AB comme plus grand côté sont situés dans la zone intersection des deux disques de centres A et B et de rayon R=AB.

Soit (P1) cette zone.

Cette zone (P1) a pour aire :

2* ( 2* Pi*R² /6 – R² 3 / 4 ) = 2 * Pi*R² / 3 - R² 3 / 2 soit R² (2 Pi/3 - 3 / 2) Les triangles obtus ont leur sommet à l’intérieur du petit disque vert de diamètre AB.

L’aire de ce disque est Pi*R²/4

La probabilité que le triangle ABM soit obtus est :

( Pi*R²/4 ) / [ R² (2 Pi/3 - 3 / 2) ] = 0.25 * Pi / (2 Pi/3 - 3 / 2) ~ 0.639 soit environ

64%

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(2)

Q2 R=AB

CAS POSSIBLES

Les ogives

(je nomme ainsi l’intersection des deux sphères) :

Elles sont constituées de deux calottes sphériques de hauteur r = AB/2.= R/2.

Volume d’une calotte sphérique de hauteur h, dans une boule de rayon R : Leur volume est 2 * (Pi/3) * (R/2)² * (3R-R/2) = (5/12) Pi * R³

soit 5/12 *Pi * R³

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CAS FAVORABLES