Enoncé D667 (Diophante) Quatorze de moyenne
Soit ABC un triangle de côtésAB= 13, BC = 14 etCA= 15.
Q1 Déterminer les tangentes des angles de ce triangle.
Q2 Construire, à la règle et au compas, trois pointsX,Y etZ tels qu’avec les côtés du triangleABC, les segmentsAX,BY etCZ partagent celui-ci en quatre triangles de même aire.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1
Le triangle ABC a pour aire 84, comme l’indique la formule de Héron.
Ainsi la hauteur AD abaissée de A a 12 pour longueur. ABC est formé des deux triangles pythagoriciens ABD (BD= 5), et ACD (CD = 9).
D’où tanB = 12/5, tan(B/2) = 2/3, tanC = 4/3, tan(C/2) = 1/2, puis tan(A/2) = 4/7, tanA= 56/33.
Question 2
La construction suivante s’applique à tout triangle.
Sur le côtéBC et à l’extérieur du triangle, construire le triangle équilatéral U BC, son cercle inscrit, puis le cercle concentrique de rayon moitié, et une tangente menée de U à ce dernier ; elle coupeBC en L.
Construction analogue deV CAetM surCA, puis deW AB etN surAB.
X =AL∩BM,Y =BM∩CN,Z =CN∩AL.
Justification
ABC est la projection sur le plan de figure d’un triangle équilatéral abc (section par un plan oblique bien choisi du prisme droit de base ABC, comme on le voit dans le problème D10004). l, m, n, x, y, z ont pour pro- jectionsL, M, N, X, Y, Z.
Soit O le centre du triangle abc; je trace al, bm, cn tangentes au cercle de centre O et de rayon la demi-distance de O aux côtés bc, ca, ab, en sorte qu’elles se correspondent par rotation d’un tiers de tour. Ces droites délimitent un trianglexyzde côté moitié de celui deabc, et d’aire le quart de l’aire de abc. Si par exemple l est plus proche de b que de de c, les segments ax, by, cz délimitent les triangles abx, bcy, caz de même aire qui est aussi le quart de l’aire deabc.
La projection respecte le rapport des aires dans un même plan, ainsi que le rapport des segments sur une même droite.
Cette construction fixe le rapport lb/lc = LB/LC; le rayon du cercle inscrit est aOsin(π/6) = aO/2. Le rayon de cercle moitié est aO/4, et l’angle laO= arcsin(1/4) = arctan(1/√
15). Le rapport des distances de l etb à aO est le rapport des tangentes 1/√
15 et tan(π/6) = 1/√
3. C’est aussi le rapport (lc−lb)/bc= 1/√
5.
La construction proposée reproduit ce rapport au moyen des triangles équilatéraux tels queU BC.
