Enoncé E578 (Diophante) Des p’tits tours et puis s’en va
Q1 Quatre euros identiques sont alignés côte à côte sur un support hori- zontal. La pièce de gauche va rouler sans glisser par dessus les autres pour venir se placer sur le support, à droite de la dernière pièce.
Combien de tours sur elle-même a-t-elle effectués ?
Note : on donnera la réponse en nombre entier de tours, plus, éventuelle- ment, une fraction de tours.
Q2 Il y aneuros identiques alignés côte à côte. Comme précédemment la pièce de gauche roule sans glisser par dessus les autres et effectue exacte- ment 2018 tours sur elle-même pour se placer à droite de la dernière pièce.
Déterminer n.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
La rotation de la pièce roulante est deux fois celle de la tangente au point de contact. En effet, imaginons une tôle entraînée par deux rouleaux : par rapport à la tôle, les deux rouleaux ont des rotations inverses ; si l’observa- teur se place sur un rouleau (désormais vu comme fixe) au lieu d’être sur la tôle, la rotation de l’autre rouleau apparaît double de celle de la tôle.
La rotation de la tangente est mesurée par l’arc parcouru par le point de contact (en rouge sur la figure) : 1/3 de tour sur chaque euro d’extrémité (numéros 2 et nà partir de la gauche), 1/6 de tour sur chacun des n−3 euros intermédiaires, total (n+ 1)/6 tours. Ainsi la rotation de la pièce mobile est au total (n+ 1)/3 tours.
Question 1
n= 4, la pièce fait un tour et deux tiers de tour (5/3 au total).
Question 2
(n+ 1)/3 = 2018 tours, le nombre de pièces est 2018·3−1 = 6053.
